Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem: x' - e^{t-x} =e^t mit x(0) = 0

Question

Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:

$$\dot { x } - e ^ { t - x } = e ^ { t } \operatorname { mit } x ( 0 ) = 0$$

Reicht das als Bedingung?

Answer 1

Du kannst die Aufgabe mit Trennung der Variablen lösen.

x'  -e^{t-x}= e^t    | +-e^{t-x}

x'= e^t  +e^{t-x}

x'= e^t  +e^t * e^{-x}

x'= e^t(1  + e^{-x})

dx/dt = e^t(1  + e^{-x})

dx/(1 +e^{-x})= e^t dt

ln(e^x+1)= e^t +C₁

_{x = ln(e^{e^t +C1} -1)}

_{x= ln(C1 * e^{e^t} -1)}

_{die AWB eingesetzt::}

_{2/e= C1}

_->

_x=
x= ln( 2/e * e^{e^t} -1)

x= ln(2 e^{e^t-1} -1)

Comments

So hab mir die Lösung mal genauer angeguckt und ich verstehe einfach 

nicht wo c1 herkommt und wie ich 2/e erhalte indem ichs in die Anfangswertbedingung einsetze? könntest du mir diesen Teil auch kurz hinschreiben?

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x= ln(C1 * e^{e^t} -1) ->hier setzt Du die AWB ein ;x(0)=0

----->

0= ln(C1 * e -1) | e hoch

1= C1 * e -1 |+1

2=C1 *e

C1= 2/e

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dieser teil ist ok, aber wo kommt c allgemein her? ist das die integrationskonstante? wenn ja müssen doch 2 sein eines von linke seite und eines von rechts , die heben sich ja dann auf? 

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- aber wo kommt c allgemein her? ist das die integrationskonstante? ->JA

-wenn ja müssen doch 2 sein eines von linke seite und eines von rechts  ->JA

die heben sich ja dann auf?  ->nein

Linke Seite  z.B. C1

Rechte Seite  z.B. C2

Die werden zu einer zusammengefasst und oft nur rechts geschrieben als EINE Konstante.

-------->C2-C1 = K (z.B)

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@Knightfire

>  dx/(1 +e^-x)= e^t dt

>  ln(e^x+1)= e^t +C₁

Hier kannst du dir ggf. noch die Integration von  1/(1+e^-x)  ansehen:

http://www.integralrechner.de/#expr=1%2F%281%2Bexp%28-x%29%29

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Also was ich allg. bis jetzt gemacht hab:

$$\dot { x } -{ e }^{ t-x }={ e }^{ t }$$

$$\dot { x } ={e  }^{ t }{e  }^{ t-x }$$

$$\dot { x } ={ e }^{ t }{ (1+e }^{ -x })$$

AWB

$$\int _{ f(0) }^{ f(x) }{ \frac { 1 }{ 1+{ e }^{ -x } }  } dx=\int _{ { x }_{ 0 } }^{ x }{ { e }^{ t } } dt$$

$$ln(1+{ e }^{ -x })={ e }^{ t }+C3$$

$${ e }^{ -x }+1={ e }^{ { e }^{ t }+C3 }$$

$${ e }^{ -x }={ e }^{ { e }^{ t }+C3 }-1$$

$$-x= ln({e}^{{ e }^{ t}+C3 }-1)$$

AWB x₀ = 0

$$0= ln({e}^{{ e }^{ t}+C3}-1)$$

$$1= {e}^{{ e }^{ t}+C3}-1$$

$$2={ e }^{ { e }^{ t }+C3 }$$

!?!?!?

was mach ich falsch?

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sry der letzte Teil ist so:

$$1=ln({ e }^{ { e }^{ t }+C3}-1)$$

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Schau Dir  den Weg in Ruhe an:

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2. Teil: