Fläche eines Quadrats aus anderem Quadrat bestimmen

Question

In der Abbildung unten befinden sich zwei Quadrate ABCD und ECFG:

Punkte D, E und F sind kollinear. DE hat eine Länge von 4 cm. EF eine Länge von 6 cm.

Bestimme die Fläche des Quadrates ABCD.

Answer 1

Gesucht ist also der Wert CD ²

Zeichne die zweite Diagonale durch das kleine Quadrat und nenne den Schnittpunkt S. S teilt beide Diagonalen in jeweils zwei 3 cm lange Strecken.

 

Da die Diagonalen eines Quadrates senkrecht aufeinander stehen, ist das Dreieck CSD ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei S und der Hypotenuse CD.  

Von diesem Dreieck sind von aufgrund des fett gesetzten Satzes (siehe oben) die Längen der Strecken CS = 3cm und SD = 3 cm + 4 cm = 7 cm bekannt. Diese Strecken sind die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks CSD. 

Nach Pythagoras gilt daher:

CD ² = CS ² + SD ² = 3 ² + 7 ² = 58

Also hat das große Quadrat den Flächeninhalt 58 cm ².

Comments

Diese Lösung kommt aufs gleiche Ergebnis wie meine ist aber deutlich eleganter. DH.

Answer 2

Eventuell mit dem Kosinussatz:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(gamma)

c^2 = 4^2 + √18^2 - 2*4*√18*cos(135°) = 58 cm^2

Comments

Vielleicht solltest du noch kurz erläutern, wie du auf die Winkelgröße 135 ° kommst. Das ist zwar nicht wirklich schwierig, aber vielleicht auch nicht für jedermann unmittelbar einsichtig.

Answer 3

sei X der Punkt, an dem die verlängerte Gerade EG die Strecke DC schneiden würde. Der Strahlensatz liefert

EX / FC = 4 / (4 + 6) ⇒ EX = (4/10) * FC.

Der Satz des Pythagoras ergibt die Seite eines Quadrates in Abhängigkeit von der Länge seiner Diagonale: a = d / wurzel(2). Dies führt hier zu:

FC = wurzel(18) ≈ 4,243.

Es gilt also EX = (4/10) 4,243 ≈ 1,697.

Nun, da wir EX haben, können wir CX ausrechnen:

CX = wurzel(CE^2 + EX^2) ≈ 4,57 (Satz des Pythagoras).

Schließlich liefert der Strahlensatz die Länge CD:

CD / CX = FD / FE oder

CD = (FD / FE) * CX = (10 / 6) * 4,57 ≈ 7,62.

MfG

Mister