Gleichungssystem: mit T(t) = (T0 -T1) * e^{-k*t} + T1 , t ≥ 0

Question

Eine Flüssigkeit mit der Anfangstemperatur T₀ wird durch ein Kühlmittel mit der (kontanten) Temperatur T₁ gekühlt. Die Temperaturabnahme verläuft dabei exponentiell nach der Gleichung.

T(t) = (T₀ -T₁) * e^-k*t + T_{1 ,} t ≥ 0

wobei T(t) die Temperatur der Flüssigkeit zur Zeit t (t in Minuten) ist. In einem Versuch werden bei einer Kühltempeatur von T₁ = 20° C folgende Werte gemessen: Nach 30 min beträgt die Temperatur 80° C, nach 60 min dagegen nur noch 40° C. Bestimmen Sie T₀ und k.

Answer 1

Hallo bf,

ich setze x °C = T₀  ,  dann hast du die Gleichungen

80 = (x - 20) · e^{- 30k} + 20        G1 

40 = (x - 20) · e^{- 60k} + 20        G2

G1 nach x auflösen:    -20 | * e^{30k}   | + 20    

x  =  60 · e^{30k} + 20

x in G2 einsetzen:

40 = ((60  ·e^{30k} + 20) - 20) · e^{- 60k} + 20

nach k auflösen:    | -20  |  Klammern auflösen, 

20 = 60  ·e^{30k}  · e^{- 60k} 

20 = 60  · e^{- 30k}            | * e^{30k}   | : 20 

e^{30k} = 3    |  ln  anwenden und  Logarithmensatz  ln(a^r) = r * ln(a)

30 k = ln(3)     | : 30

k  =  ln(3) / 30   ≈  0,03662    →    x  = 200  [°C]        

Gruß Wolfgang