Question

Die Abkühlung einer Tasse Kaffee wird beschrieben durch die Funktion T (t) = 70 • e^-0.045t (t ist die Zeit und T (t) die Temperatur in °C nach t Minuten). a) Berechne, wann die Temperatur des Kaffees nach 60 °C, 50°C , 40°C bzw. 30°C beträgt. b) Berechne die Geschwindigkeit der Temperaturabnahme (in °C pro Minute) nach einer Minute, nach fünf Minuten, nach zehn Minuten und nach 30 Minuten. Was fällt auf? c) Begründe, warum die Funktion T (t) nicht verwendet werden kann, um einen Abkühlungsprozess zu beschreiben, wenn der Kaffee sich in einen Raum mit einer Raumtemperatur von 20°C befindet. Bei welcher Raumtemperatur könnte die Funktion T (t) ein sinnvolles Modell für einen Abkühlungsprozess sein?

Comments

Weitee Aufgaben zum Abkühlungsgesetz z.B. hier https://www.mathelounge.de/25519/das-newtonsche-abkuhlungsgesetz-bsp-bier-aus-kuhlschrank

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Könntest du mir bitte die ausführliche Lösung sagen wenns um mathe geht habe ich leider keinen durchblick

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Nunja, wenn Du Dir immer alles vorrechnen lässt wird sich das leider auch nie ändern.

Wie wäre es, es ab und an selbst zu probieren und wenn man nicht weiterkommt mit dem bisherigen aufzuwarten und um Tipps zu bitten?!

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Checke das immer nur am besten wenn mir das jemand vorrechnet

Answer 1

T(t) = 70·e^{- 0.045·t}
T'(t) = - 3.15·e^{- 0.045·t}

a) Berechne, wann die Temperatur des Kaffees nach 60 °C, 50°C , 40°C bzw. 30°C beträgt.

T(t) = 60
t = 3.425570662

T(t) = 50
t = 7.477160813

T(t) = 40
t = 12.43590639

T(t) = 30
t = 18.82884134

b) Berechne die Geschwindigkeit der Temperaturabnahme (in °C pro Minute) nach einer Minute, nach fünf Minuten, nach zehn Minuten und nach 30 Minuten. Was fällt auf? 

T'(1) = -3.011392067
T'(5) = -2.515326089
T'(10) = -2.008528677
T'(30) = -0.8166068210

c) Begründe, warum die Funktion T (t) nicht verwendet werden kann, um einen Abkühlungsprozess zu beschreiben, wenn der Kaffee sich in einen Raum mit einer Raumtemperatur von 20°C befindet. Bei welcher Raumtemperatur könnte die Funktion T (t) ein sinnvolles Modell für einen Abkühlungsprozess sein?

lim x→∞ T(x) = 0

Die Temperatur würde auf lange Sicht auf 0 Grad abnehmen. Daher wäre dieses Modell für Räume mit einer Temperatur von 0 Grad geeignet.

Answer 2

 

a)
gesucht ist der zeitpunkt, an dem der kaffee eine temperatur von 60°C, 50°C,
40°C, 30°C hat.
wir könnten jetzt mit 60°C beginnen und in die gleichung einsetzen.
T(t) = 70e^{-0.045t}
60 = 70e^{-0.045t}
dann könnten wir die gleichung nach t auflösen.
weil wir aber mehrere werte berechnen müssen, setzen wir noch keinen wert
ein und lösen allgemein nach t auf:
T(t) = 70e^{-0.045t}
T(t) = 70e^{-0.045t}
e^{-0.045t} = T(t)/70
e^{-0.045t} = T(t)/70 | beide seiten der gleichung logarithmieren
-0.045t ln(e) = ln( T(t)/70 ) | ln(e) = 1
-0.045t = ln( T(t)/70 ) | : (-0.045)
t = ln( T(t)/70 ) / (-0.045)

jetzt können wir nacheinander die werte 60°, 50°, 40°, 30° in die gleichung
einsetzen und die gesuchte zeit t berechnen.

b)
um die geschwindigkeit berechnen zu können, müssen wir die erste ableitung
nach der zeit bilden.

T(t) = 70e^{-0.045t}
T'(t) = (-0.045)70e^{-0.045t}
T'(t) = -3.15e^{-0.045t}

T'(t) ist die geschwindigkeit der temperaturabnahme in abhängigkeit von t.
weil die tangente an der stelle T'(t) mit wachsendem t immer flacher wird,
bedeutet dies, dass die geschwindigkeit der temperaturabnahme immer geringer wird.
der kaffee kühlt also immer langsamer ab.
einfach die gegebenen werte einsetzen und T'(t) berechnen.

c)
für große t, also nach längerer zeit geht die
funktion T(t) = 70e^{-0.045t} immer näher gegen 0° (siehe graph oben).
das wäre in einem raum mit 20°C natürlich nicht möglich.
die gleichung und der graph würden nicht stimmen.
bei einer raumtemperatur von 0° wäre das ein sinnvolles modell.
für eine raumtemperatur von 20° lässt sich die gleichung so anpassen:
T(t) = 20 + 50e^{-0.045t}
damit bleibt der startwert, also die temperatur des kaffees zum zeitpunkt t=0(zeitpunkt des eingießens) erhalten:
T(0) = 20 + 50e^{-0.045*0} = 20 + 50e^{0} = 70.

mit dieser der raumtemperatur angepassten gleichung würde der kaffee bei einer raumtemperatur von 20°C laut gleichung(und graph, guckst du unten) auf 20° abkühlen, was ein durchaus sinnvoller wert ist.