Exponentialfunktion. Temperatur T(t) eines Gegenstandes (in ºC) verändert sich gemäss T(t)=40+200e^{-kt}; k>0.

Question

Hallo alle zusammen, Aufgabe: Die Temperatur T(t) eines Gegenstandes (in ºC) verändert sich in Abhängigkeit von der Zeit t (in Min.) Nach folgender Gesetzmäßigkeit: T(t)=40+200e^{-kt};k>0. Zeigen Sie, dass es sich um einen Abkühlungsvorganghandelt. Welche Temperaturen kann der Körper für t>0 annehmen? Bestimmen Sie k auf 3 Dezimalen gerundet, wenn sich der Gegenstand in den ersten 30 Minuten auf 68ºC abgekühlt hat. Zeigen Sie, dass nach 40 Minuten die Temperatur pro Minute um weniger als 1 Grad abnimmt. - bitte mit Erklärung ich verstehe so gut wie nichts hier :(  :)

Answer 1

T(t) = 40 + 200·e^{- k·t}

T'(t) = - 200·k·e^{- k·t} < 0 für alle k > 0 daher ist die Steigung an allen Stellen negativ und die Temperatur nimmt immer weiter ab.

T(0) = 240

lim (t→∞) T(t) = 40

Die Temperatur nimmt also von 240 Grad im Laufe der Zeit bis auf fast 40 Grad ab. Daher können alle Temperaturen im bereich von 40 bis 240 angenommen werden.

T(30) = 68
40 + 200·e^{- k·30} = 68
k = 0.06553709521

T'(40) = - 200·0.06553709521·e^{- 0.06553709521·40} = -0.9528427450 > - 1