Zum Wachstum mit Grenzen: Temperatur des Saftes im Raum

Question

Aufgabe: Ich habe einen Heftaufschrieb vorliegen, den ich leider nicht mehr genau zuordnen kann, da er sich auf eine Aufgabe aus einem Buch bezieht, das nur der Mathelehrer hat. Es ist ein Tafelanschrieb gewesen:

Temperatur des Saftes: 10° C

Raumtemperatur: 25° C

Temperaturdifferenz: 15° C

Problem/Ansatz: Ich habe nun zwei Funktionsgleichungen stehen:

                               f(x) = 15 * (2/3)^x

                                  und

                              f(x) = 25 - 15 * (2/3)^x

Kann mir vielleicht jemand erklären, wie die beiden Funktionsgleichungen zustande kommen und was mit der ersten

Funktionsgleichung beschrieben wird und was mit der zweiten? Auch ist mir unklar, wie die 2/3 zustande kommen.

Answer 1

Hallo Kristin,

Es ist wahrscheinlich, dass mit der Variablen $x$ die Zeit gemeint ist. Dann ist die erste Funktion $$d(x) = 15 \cdot \left(\frac 23\right)^x$$ die Temperaturdifferenz seit dem das Glas mit dem $10°$ kalten Saft in den Raum mit der Temperatur von $25°$ gestellt wurde.

Die zweite Gleichung $$s(x) = 25 - d(x) = 25 - 15\cdot \left( \frac 23 \right)^x$$ gibt die Temperatur des Saftes im Glas (oder einem anderen Behälter) in Abhängigkeit der Zeit $x$ an.

Auch ist mir unklar, wie die 2/3 zustande kommen.

Der Faktor $2/3$ gibt an, wie schnell sich die Temperatur des Saftes nach einer Zeiteinheit (z.B. einer Stunde) an die Umgebungstemperatur anpasst. Also in diesem Fall beträgt die Temperaturdifferenz nach $1$ Zeiteinheit nur noch $2/3$ der ursprünglichen Differenz.

Mal angenommen, die Zeiteinheit für das $x$ seien Stunden. Am Anfang beträgt die Temperaturdifferenz $15°$. Nun lässt man den Saft eine Stunde in dem warmen Raum stehen und misst anschließend wieder die Temperatur. Beträgt sie dann $15°$, so beträgt die Temperaturdifferenz nur noch $d(1) = 25°-15°=10°$. Somit ist der Faktor $a$ $$a = \frac{10°}{15°} = \frac 23$$ Da man allgemein davon ausgehen kann, dass die Geschwindigkeit der Temperaturanpassung direkt proportional mit der Temperaturdifferenz einher geht, bleibt dieser Faktor erhalten. D.h. nach einer weiteren Stunde wird die Differenz bei $d(2)=15° \cdot a^2 = 15° \cdot \frac 23 \cdot \frac 23= 10° \cdot \frac 23 \approx 6,7°$ liegen - usw.

Als Graph sieht $s(x)$ so aus (die blaue Kurve):

Plotlux öffnen

f₁(x) = 25-15·(2/3)^xZoom: x(-1…12) y(-2…30)f₂(x) = 25

Gruß Werner

Comments

Hallo Werner,

erst einmal vielen Dank für Deine Antwort. Der obere Sachverhalt leuchtet mir ein, aber unklar ist mir leider nach wie vor, wie die 2/3 zustande kommen. Kannst Du das vielleicht noch etwas näher erläutern? Mir ist einfach nicht klar, wie man rechnerisch auf 2/3 kommt.

Gruß

Kristin

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Hallo Kirstin,

ich habe meine Antwort erweitert. Falls Du immer noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

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In der Aufgabe muss etwas in der Art gestanden haben, dass nach einer Zeiteinheit die Temperaturdifferenz um 1/3 der Temperaturdifferenz abnimmt.

Oder eben wie Werner sagte, dass die Temperaturdifferenz in einer Zeiteinheit auf 2/3 ihres Wertes abnimmt.

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auf die Originalaufgabe habe ich leider keinen Zugriff, aber Dein Hinweis leuchtet

mir ein. Vielen Dank!

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Hallo Werner,

vielen Dank für Deine ausführliche Antwort. Jetzt, mit dem Nachtrag, leuchten mir die 2/3 ein.

Gruß

Kristin