Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x^3 + 3x^2 + 6x - 4 auf Monotonie

Question

1) Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x^3 + 3x^2 + 6x - 4 auf Monotonie.

2) In welchen Intervallen ist f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x - 12 monoton fallend bzw. monoton wachsend?

Comments

Mus sich die erste Ableitung immer null setzen beim untersuchen der monotonie?

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Wenn du z.B. ein Polynom hast, kannst du das einfach ableiten. Die lokalen Extremalstellen sind dann automatisch die Stellen, an denen sich das Monotonieverhalten ändert. Daher ist es eine gute Idee die erste Ableitung 0 zu setzen.

Wenn du aber z.B. etwas über das Monotonieverhalten von y = tan(x) oder auch y = 1/(x-1) aussagen sollst, sind weitere Kenntnisse und die Ausführungen im Video oben nützlich (und notwendig).

Vergleiche die Graphen von Funktion und erster Ableitung direkt in einem Plotter:

~plot~ x^3 + 3x^2 + 6x - 4; 3x^2 + 6x + 6 ; [[-10|10|-50|50]] ~plot~ 

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ist mir noch nicht ganz einleuchtend wie roland unten auf monoton steigend kommt? weil erste Ableitung positive werte hat die steigen und weil 6x und 6 gleich sind sprich dadurch monoton steigend und nicht streng monoton steigend, ist das so  einigermassen richtig gedeutet?

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1. ist sogar streng monoton steigend.

Habe oben gerade noch Graphen eingefügt.

Bei einer Polynomfunktion (Funktion vom Grad 1 und mehr) liegt nach üblicher Definition der Monotonie immer strenge Monotonie vor, da nie 2 exakt gleiche Werte nebeneinander vorkommen. (Du musst dich aber an die Definitionen in den Schulbüchern in deinem Bundesland halten).

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zeichnerisch sollen wir das nicht lösen. rechnerisch nachweisen. und dann habe ich so meine Probleme.

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Ok. Hast du meinen Text verstanden? Was hindert dich daran Nullstellen der Ableitung und damit lokale Extrema der Funktion auszurechnen?

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ja, also an der Zeichnung erkenne ich die monotonie sehr gut!

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ich kann mir das teilweise schlecht vorstellen ohne Zeichnung

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Zum Üben kannst du ja die Zeichnungen machen. Du gewöhnst dich schneller dran, was du machst, wenn du Rechnungen und Zeichnungen kombiniert notierst.

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bei Rechnungen kann ich gar nicht viel machen ausser die Ableitungen null setzen

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f'(x)=3x2+6x+6  = 0 

abc-Formel: Keine Lösung.

Einen Wert der Ableitung ausrechnen.

Bsp.

f'(0)=3*0+6*0 +6  = 6 > 0.

Da die Ableitung das Vorzeichen nirgends ändert (Parabel ohne Nullstelle), ist die Funktion f überall streng monoton steigend.

" zu (ii) Die Ableitung f '(x)= 6x2+6x-36 ist für x∈(-∞,-3) und für (2,+∞) positiv und sonst negativ.  "

f '(x)= 6x2+6x-36 = 0 abc-Formel ==> x1 = -3 und x2= 2 unterteilen die reelle Achse in 3 Bereiche.

Punktprobe:

x = 0 . ==> f ' (0) = 6*0 + 6*0 - 36 = -36 neg. ==> Im Bereich {x | -3 ≤ x ≤ 2 } ist f (streng monoton fallend) 

Folglich (du weisst, dass die Parabel nun neben den Nullstellen immer über der x-Achse verläuft) im Bereich { x | x≤ -3 oder x≥ 2} streng monoton steigend. 

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cool danke. ich habe versucht eine Nullstele mit der pq Formel rauszubekommen Abe rim Ts zeigt er mir da -1+i an... keine Ahnung was das sein soll. ich kann zu Überprüfung einfach irgendeinen wert in die erste Ableitung einsetzten?

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Dein Taschenrechner gibt dir eine komplexe Nullstelle an. Die kannst du in der reellen Welt nicht brauchen. Wenn nur Resultate mit i erscheinen, weisst du, dass die Parabel keine reellen Nullstellen hat. Nun musst du nur noch rausfinden, ob sie ganz über (steigende Funktion)  oder ganz unter (fallende Funktion)  der x-Achse liegt.

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so langsam komme ich der Sache näher.

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ist das so ähnlich wie hoch und Tiefpunkte berechnen? also monotonie allgemein betrachtet?

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wie meint du das mit dem unterteilen der reellen Achse in 3 Bereiche?

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Auch für die 2. Rechnung ist der Graph (zumindest im Kopf) zwingend. Du solltest wissen, was du rechnest. x=-3 und x=2 hast du ausrechnen können. Das sind die Grenzen für die Monotoniebereiche, die du zu bestimmen hast. 

~plot~ 6x^2+6x-36;2x^3+3x^2-36x-12;[[-7|7|-80|80]];x=-3;x=2 ~plot~

Answer 1

Schau mal hier: https://www.mathelounge.de/397442/auf-steigende-und-fallende-monotonie-untersuchen-f-x-x-3-4x-2 und übertrage die Antwort auf deine Fragestellung(en) . Deinen Versuch, darfst du gern als Kommentar einstellen, falls du unsicher bist. 

Solltest du Anlaufschwierigkeiten haben, beginne mit dem Studium von: https://www.matheretter.de/wiki/monotonie-funktionen  und

https://youtu.be/qyj5PQ34Ffw 

Answer 2

Zu (i) Die erste Ableitung f'(x)=3x2+6x+6 ist überall positiv. Der Graph istüberall monoton steigend.

zu (ii) Die Ableitung f '(x)= 6x2+6x-36 ist für x∈(-∞,-3) und für (2,+∞) positiv und sonst negativ.

Comments

woran genau hast du das erkannt mit den Graphen?

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muss ich von der 1 Ableitung die Nullstelle ausrechnen?

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Roland hat vermutlich 3x2+6x+6 = 0 gesetzt und z.B. mit der abc-Formel festgestellt, dass keine Nullstelle existiert. 

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ich habe es mit der quadratischen Ergänzung gemacht.