Maximum der Funktion 3. Grades f(x)= x^3 - 8x^2 + 16x bei x = 4/3?

Question

Hier ist die Aufgabe:

Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Funktion f(x)= x^3 - 8x^2 + 16x an der Stelle x = 4/3 ein Maximum besitzt.

Answer 1

f(x)= x³ - 8x² + 16x

f '(x) = 3x^2 - 16x + 16

f ''(x) = 6x - 16 

f '(4/3) = 3 (4/3)^2 - 16* 4/3  + 16  =  16/3 - (16*4)/3 + 16 ? = 0 ? stimmt

f ''(x) = 6 * (4/3)  - 16 = 24/3 - 16 = 8 - 16 = -8   < ? < 0 ?  stimmt.

q.e.d 

Answer 2

Leite die zwei mal Funktion ab.

Setze x=4/3 in die erste Ableitung ein und zeige,  dass dies 0 wird.  => Extrempunkt

Setze dann x=4/3 in die zweite Ableitung ein und zeige dass dies kleiner als 0 wird.   => Maximum.

Answer 3

 f(x)= x³ - 8x² + 16x

f '(x) = 3·x^2 - 16·x + 16

f "(x) = 6·x - 16

x = 4/3  in f '(x)  und  f "(x)  einsetzen 

            →  f '(4/3) = 0   und  f "(4/3) < 0    →  lokales  Maximum

Gruß Wolfgang