Differenzial / Integralaufgabe mit mehreren Veränderlichen

Question

Aufgabe:

Es sei \( F:(0, \infty) \times(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch \( F(u, v)=\int \limits_{1}^{u} \frac{2^{4 t v}}{t} \mathrm{~d} t \) und \( f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) durch \( f(x)=F(x, x) \).

(a) Bestimmen Sie \( \nabla F(u, v) \).

(b) Zeigen Sie, dass \( f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}\left(2 \cdot 2^{4 x^{2}}-2^{4 x}\right) \) für alle \( x>0 \) gilt.

Kann mir jemand sagen wie man hier den Gradienten bekommt mich verwirrt, dass ich hier 3 Variablen habe, in der Funktion nur 2 Auftauchen und nach der 3ten Integriert wird.

Answer 1

Also den Gradienten einfach stur nach Definition:

grad(F(u,v)) = (dF/du , dF/dv) ^T    rechnen.


Also du musst dF/du und dF/dv bestimmen:

dF/du bekommst du einfach durch den 1.Teil des Hauptsatzes der Integral und Differentialgleichung hin.

dF/dv da musst du argumentieren, dass du die Ableitung ins Integral ziehen kannst. Also Limes mit Integral vertauschen. Das sollte aber möglich sein, da die Funktion in (0,inf) stetig ist und du über ein kompaktes Intervall integrierst und somit das Integral existiert.


(Zur Notation: mit dF/du und dF/dv sind die partiellen Ableitungen gemeint; mit ^T ist transponieren gemeint)

Hilft dir das mal weiter zu Punkt a)?