Funktion stetig fortsetzbar in (0,0)? (i) f(x,y) = (x2 y3)/(x8 + 2y4), (ii) g(x,y) = (xy2 - yx2)/(x2 + y2)

Question

Aufgabe:

(a) Welche der folgenden, auf $\mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\}$ definierten Funktionen sind in $(0,0)$ stetig fortsetzbar?
(i) $f(x, y)=\frac{x^{2} y^{3}}{x^{8}+2 y^{4}}$
(ii) $g(x, y)=\frac{x y^{2}-y x^{2}}{x^{2}+y^{2}}$

(b) Ist $\|\cdot\| \cdot$ eine Norm in $\mathbb{R}^{n},$ so wird eine Matrixnorm für $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ definiert durch
$$\left.\|A\|_{*}=\max \left\{\|A x\|_{*} | x \in \mathbb{R}^{n},\|x\|_{*}=1\right\} \quad \text { (die induzierte }\|\cdot\|_{*}-N o r m\right)$$
Zeigen Sie: $\|A\|_{1}=\max _{j=1, \ldots, n} \sum \limits_{i=1}^{n}\left|a_{i j}\right|$ und $\|A\|_{\infty}=\max _{i=1, \ldots, n} \sum \limits_{j=1}^{n}\left|a_{i j}\right|$

in der Vorlesung hatten wir nur dass man dies zeigen kann, aber kein Beispiel gehabt. Wie kann man diese Aufgaben lösen?

Danke

Funktion stetig fortsetzbar in (0,0)? (i) f(x,y) = (x² y³)/(x⁸ + 2y⁴), (ii) g(x,y) = (xy² - yx²)/(x² + y²) 

Comments

EDIT: Text bitte auch (nicht nur) als Text einstellen: https://www.mathelounge.de/schreibregeln 

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Schau mal, wie deine Funktion an bei (0|0) aussehen könnte:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%5E2+y%5E3)%2F(x%5E8+%2B+2y%… 

Welche der vielen umgewandelten Formen im Link könnte dir denn hier helfen?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+(+(x%5E2+y%5E3)%2F(x%5E8+%…

Sagt dir nun, dass es gewisse Grenzwerte gibt. Sind das die Richtigen ? Kannst damit etwas zeigen? Oder kannst du einen Grenzwert ausschliessen?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(xy%5E2+-+yx%5E2)%2F(x%5E2+%2B…

sieht bei (0|0) weniger wild aus. Allerdings zeigt der contourplot, dass sich in (0|0) Höhenlinien schneiden.

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Lu hat Dir ja schon einige Grenzwerte zur Teilaufgabe (a.) ausgerechnet.

Überlege Dir doch mal den Grenzwert, wenn Du Dich auf der Kurve (x,x²) dem Punkt (0/0) näherst. Der ist dann nämlich nicht gleich Null. Unterschiedliche Grenzwerte, also nicht stetig fortsetzbar.

Answer 1

Es gibt mehrere Methoden das zu untersuchen. Hier eine die mir besonders gut in meinem Gedächtnis haften geblieben ist.

f(x, y) = x²·y³/(x⁸ + 2·y⁴)

x = 0 + h·COS(α) = h·COS(α)

y = 0 + h·SIN(α) = h·SIN(α)

Einsetzen

f(h) = (h·COS(α))²·(h·SIN(α))³ / ((h·COS(α))⁸ + 2·(h·SIN(α))⁴)

f(h) = h⁵·SIN(α)³·COS(α)² / (h⁸·COS(α)⁸ + 2·h⁴·SIN(α)⁴)

Subst. h = 1/x

f(h) = x^-5·SIN(α)³·COS(α)² / (x^-8·COS(α)⁸ + 2·x^-4·SIN(α)⁴)

f(h) = x³·SIN(α)³·COS(α)² / (COS(α)⁸ + 2·x⁴·SIN(α)⁴)

Jetzt kann man Grenzwertuntersuchung für x --> ∞ machen. Vorher kann man noch zeigen dass der Nenner nie Null werden kann.

Besonders interessant ist der Fall, wenn SIN(α) = 0.

Comments

Den Ansatz von Der_Mathecoach würde ich vor allem in Teilaufgabe (ii) wählen. Da klappt es echt super.

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Was bedeutet das nun für die Existenz des Grenzwerts?

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Wenn Du die Polarkoordinaten einsetzt, kannst Du im Nenner alle Variablen wegkürzen. Das heißt die Funktion ist stetig fortsetzbar.

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Aber es gilt doch z.B. $f(x,x^2)=\frac13$ und $f(x,-x^2)=-\frac13$ für alle $x\ne0$?

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@Der_Mathecoach: Wie kann $f$ am Ursprung stetig fortsetzbar sein, wenn $\lim\limits_{x\to0}f(x,x^2)\ne\lim\limits_{x\to0}f(x,-x^2)$ ist?

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Meine Anmerkung bezog sich auf Teilaufgabe (ii.).

(i.) nicht stetig fortsetzbar.

(ii.) stetig fortsetzbar.

Begründungen siehe oben

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Mein Kommentar bezog sich selbstverständlich auf MCs Rechnung, die offenbar Teil (i) der Frage (a) beantwortet. Außerdem ist es zweifelhaft, dass mit dieser Methode Teil (ii) gelöst werden könnte.