Funktion stetig fortsetzbar in (0,0)? (i) f(x,y) = (x^2 y^3)/(x^8 + 2y^4), (ii) g(x,y) = (xy^2 - yx^2)/(x^2 + y^2)

Question

Aufgabe:

(a) Welche der folgenden, auf \( \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \) definierten Funktionen sind in \( (0,0) \) stetig fortsetzbar?
(i) \( f(x, y)=\frac{x^{2} y^{3}}{x^{8}+2 y^{4}} \)
(ii) \( g(x, y)=\frac{x y^{2}-y x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \)

(b) Ist \( \|\cdot\| \cdot \) eine Norm in \( \mathbb{R}^{n}, \) so wird eine Matrixnorm für \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) definiert durch
$$ \left.\|A\|_{*}=\max \left\{\|A x\|_{*} | x \in \mathbb{R}^{n},\|x\|_{*}=1\right\} \quad \text { (die induzierte }\|\cdot\|_{*}-N o r m\right) $$
Zeigen Sie: \( \|A\|_{1}=\max _{j=1, \ldots, n} \sum \limits_{i=1}^{n}\left|a_{i j}\right| \) und \( \|A\|_{\infty}=\max _{i=1, \ldots, n} \sum \limits_{j=1}^{n}\left|a_{i j}\right| \)

in der Vorlesung hatten wir nur dass man dies zeigen kann, aber kein Beispiel gehabt. Wie kann man diese Aufgaben lösen?

Danke

Funktion stetig fortsetzbar in (0,0)? (i) f(x,y) = (x^2 y^3)/(x^8 + 2y^4), (ii) g(x,y) = (xy^2 - yx^2)/(x^2 + y^2) 

Comments

EDIT: Text bitte auch (nicht nur) als Text einstellen: https://www.mathelounge.de/schreibregeln 

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Schau mal, wie deine Funktion an bei (0|0) aussehen könnte:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%5E2+y%5E3)%2F(x%5E8+%2B+2y%5E4) 

Welche der vielen umgewandelten Formen im Link könnte dir denn hier helfen?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+(+(x%5E2+y%5E3)%2F(x%5E8+%2B+2y%5E4))

Sagt dir nun, dass es gewisse Grenzwerte gibt. Sind das die Richtigen ? Kannst damit etwas zeigen? Oder kannst du einen Grenzwert ausschliessen?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(xy%5E2+-+yx%5E2)%2F(x%5E2+%2B+y%5E2)

sieht bei (0|0) weniger wild aus. Allerdings zeigt der contourplot, dass sich in (0|0) Höhenlinien schneiden.

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Lu hat Dir ja schon einige Grenzwerte zur Teilaufgabe (a.) ausgerechnet.

Überlege Dir doch mal den Grenzwert, wenn Du Dich auf der Kurve (x,x^2) dem Punkt (0/0) näherst. Der ist dann nämlich nicht gleich Null. Unterschiedliche Grenzwerte, also nicht stetig fortsetzbar.

Answer 1

Es gibt mehrere Methoden das zu untersuchen. Hier eine die mir besonders gut in meinem Gedächtnis haften geblieben ist.

f(x, y) = x^2·y^3/(x^8 + 2·y^4)

x = 0 + h·COS(α) = h·COS(α)

y = 0 + h·SIN(α) = h·SIN(α)

Einsetzen

f(h) = (h·COS(α))^2·(h·SIN(α))^3 / ((h·COS(α))^8 + 2·(h·SIN(α))^4)

f(h) = h^5·SIN(α)^3·COS(α)^2 / (h^8·COS(α)^8 + 2·h^4·SIN(α)^4)

Subst. h = 1/x

f(h) = x^{-5}·SIN(α)^3·COS(α)^2 / (x^{-8}·COS(α)^8 + 2·x^{-4}·SIN(α)^4)

f(h) = x^3·SIN(α)^3·COS(α)^2 / (COS(α)^8 + 2·x^4·SIN(α)^4)

Jetzt kann man Grenzwertuntersuchung für x --> ∞ machen. Vorher kann man noch zeigen dass der Nenner nie Null werden kann.

Besonders interessant ist der Fall, wenn SIN(α) = 0.

Comments

Den Ansatz von Der_Mathecoach würde ich vor allem in Teilaufgabe (ii) wählen. Da klappt es echt super.

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Was bedeutet das nun für die Existenz des Grenzwerts?

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Wenn Du die Polarkoordinaten einsetzt, kannst Du im Nenner alle Variablen wegkürzen. Das heißt die Funktion ist stetig fortsetzbar.

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Aber es gilt doch z.B. \(f(x,x^2)=\frac13\) und \(f(x,-x^2)=-\frac13\) für alle \(x\ne0\)?

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@Der_Mathecoach: Wie kann \(f\) am Ursprung stetig fortsetzbar sein, wenn \(\lim\limits_{x\to0}f(x,x^2)\ne\lim\limits_{x\to0}f(x,-x^2)\) ist?

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Meine Anmerkung bezog sich auf Teilaufgabe (ii.).

(i.) nicht stetig fortsetzbar.

(ii.) stetig fortsetzbar.

Begründungen siehe oben

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Mein Kommentar bezog sich selbstverständlich auf MCs Rechnung, die offenbar Teil (i) der Frage (a) beantwortet. Außerdem ist es zweifelhaft, dass mit dieser Methode Teil (ii) gelöst werden könnte.