Funktion stetig fortsetzbar in (0,0)? (i) f(x,y) = (x² y³)/(x⁸ + 2y⁴), (ii) g(x,y) = (xy² - yx²)/(x² + y²)

Question

Funktion stetig fortsetzbar in (0,0)? (i) f(x,y) = (x² y³)/(x⁸ + 2y⁴), (ii) g(x,y) = (xy² - yx²)/(x² + y²)

Aufgabe:

(a) Welche der folgenden, auf $ \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} $ definierten Funktionen sind in $ (0,0) $ stetig fortsetzbar?
(i) $ f(x, y)=\frac{x^{2} y^{3}}{x^{8}+2 y^{4}} $
(ii) $ g(x, y)=\frac{x y^{2}-y x^{2}}{x^{2}+y^{2}} $

(b) Ist $ \|\cdot\| \cdot $ eine Norm in $ \mathbb{R}^{n}, $ so wird eine Matrixnorm für $ A \in \mathbb{R}^{n \times n} $ definiert durch
$$ \left.\|A\|_{*}=\max \left\{\|A x\|_{*} | x \in \mathbb{R}^{n},\|x\|_{*}=1\right\} \quad \text { (die induzierte }\|\cdot\|_{*}-N o r m\right) $$
Zeigen Sie: $ \|A\|_{1}=\max _{j=1, \ldots, n} \sum \limits_{i=1}^{n}\left|a_{i j}\right| $ und $ \|A\|_{\infty}=\max _{i=1, \ldots, n} \sum \limits_{j=1}^{n}\left|a_{i j}\right| $

in der Vorlesung hatten wir nur dass man dies zeigen kann, aber kein Beispiel gehabt. Wie kann man diese Aufgaben lösen?

Danke

Funktion stetig fortsetzbar in (0,0)? (i) f(x,y) = (x² y³)/(x⁸ + 2y⁴), (ii) g(x,y) = (xy² - yx²)/(x² + y²)

Gefragt 4 Mai 2017 von Gast

📘 Siehe "Mehrdimensional" im Wiki

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Der_Mathecoach · Answer 1 · 2017-05-05T08:45:56+0000

Es gibt mehrere Methoden das zu untersuchen. Hier eine die mir besonders gut in meinem Gedächtnis haften geblieben ist.

f(x, y) = x²·y³/(x⁸ + 2·y⁴)

x = 0 + h·COS(α) = h·COS(α)

y = 0 + h·SIN(α) = h·SIN(α)

Einsetzen

f(h) = (h·COS(α))²·(h·SIN(α))³ / ((h·COS(α))⁸ + 2·(h·SIN(α))⁴)

f(h) = h⁵·SIN(α)³·COS(α)² / (h⁸·COS(α)⁸ + 2·h⁴·SIN(α)⁴)

Subst. h = 1/x

f(h) = x^-5·SIN(α)³·COS(α)² / (x^-8·COS(α)⁸ + 2·x^-4·SIN(α)⁴)

f(h) = x³·SIN(α)³·COS(α)² / (COS(α)⁸ + 2·x⁴·SIN(α)⁴)

Jetzt kann man Grenzwertuntersuchung für x --> ∞ machen. Vorher kann man noch zeigen dass der Nenner nie Null werden kann.

Besonders interessant ist der Fall, wenn SIN(α) = 0.

Funktion stetig fortsetzbar in (0,0)? (i) f(x,y) = (x² y³)/(x⁸ + 2y⁴), (ii) g(x,y) = (xy² - yx²)/(x² + y²)

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