Gleichungssystem Matrix lösen mit Parameter

Question

Hallo könnte mir jemand folgende Aufgabe erklärend vorrechnen?

Für eine Zahl \( a \in \mathbb{R} \) sei das Gleichungssystem

\( \left|\begin{array}{cccc} {x_{1}} & {-} & {3 x_{2}} & {+} & {2 x_{3}} & {=} & {1} \\ {2 x_{1}} & {+} & {x_{2}} & {-} & {a x_{3}} & {=} & {4} \\ {-7 x_{1}} & {+} & {28 x_{2}} & {-} & {13 x_{3}} & {=} & {a} \end{array}\right| \)

gegeben.

(a) Schreiben Sie das Gleichungsstem in Matrixschreibweise als erweiterte Koeffizientenmatrix \( (A | b) \in \mathbb{R}^{3 \times 4} \) und berechnen Sie eine Zeilenstufenform der Matrix \( (A | b) \) Notieren Sie die jeweils durchgeführten Rechenschritte neben der entsprechenden Zeile.

(b) Geben Sie an, für welche Werte von \( a \) das Gleichungsstem Lösungen besitzt. Gibt es einen Wert von \( a \), für den unendlich viele Lösungen des Gleichungssystems existieren, und falls ja, welchen?

(c) Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge des Gleichungssystems in Abhängigkeit von \( a \)

EDIT: Gleichungssystem Matrix lösen mit Parameter. Erweiterte Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform bringen. 

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EDIT: Text bitte auch als Text eingeben https://www.mathelounge.de/schreibregeln 

Answer 1

Hallo hh,

a)

⎡  1  -3   2     1 ⎤

⎢  2   1  -a     4 ⎥

⎣ -7  28  -13  a ⎦

⎡  1  -3     2      1  ⎤

⎢  0   7  -a - 4   2 ⎥        II - 2 * I 

⎣ -7  28    -13   a ⎦        

⎡ 1  -3      2         1   ⎤

⎢ 0   7   -a - 4      2   ⎥

⎣ 0   7      1     a + 7 ⎦      III - 7 * I

⎡ 1  -3       2          1   ⎤

⎢ 0   7   -a - 4        2   ⎥

⎣ 0   0    a + 5    a + 5 ⎦   III  -  II 

b)

Das LGS hat für alle a mindestens eine Lösung  

für a = - 5   ergibt die letzte Gleichung   0 * x₃ = 0

→  x₃ ist beliebig wählbar 

→  für a = - 5  hat das LGS unendlich viele Lösungen

c)  

Für a ≠ -5 berechnet man - beginnend mit Zeile 3  sukzessive die Lösungmenge

L = { ( (3·a + 11) / 7 ,  (a + 6) / 7 ,  1 ) }  

Für a = - 5 ergibt sich 

⎡ 1  -3  2  1 ⎤

⎢ 0   7  1  2 ⎥

⎣ 0   0  0  0 ⎦

Z3  →  x₃  beliebig = c∈ℝ

Z2  →   x₂ = (2 - c) / 7   

Z1  →  x₁ = 1 - 2c + 3 * ( 2-c) / 7  =   (13 - 17·c) / 7

L = { ( (13 - 17· c) / 7   ,  (2 - c) / 7  ,  c )  |  c ∈ ℝ }  

Gruß Wolfgang

       

Comments

Zu c) a ungleich -5, wie müsste man das aufschreiben, wenn man a auch in der lösungsmenge angeben will?

Bei a=-5 wäre es falsch, dass a=-5 ist, in die Lösungsmenge zuschreiben?

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Zu c) a ungleich -5, wie müsste man das aufschreiben, wenn man a auch in der lösungsmenge angeben will?

z.B. so:    L_a≠-5  = { ( (3·a + 11) / 7 ,  (a + 6) / 7 ,  1 ) }  

    oder    L  =_a≠-5   { ( (3·a + 11) / 7 ,  (a + 6) / 7 ,  1 ) } 

Bei a=-5 wäre es falsch, dass a=-5 ist, in die Lösungsmenge zuschreiben?

 Gegen   L_a=-5  =  { ( (13 - 17· c) / 7   ,  (2 - c) / 7  ,  c )  |  c ∈ ℝ }

   ist wohl auch nichts einzuwenden.