Ohne Beweis: Zeigen Sie dass, a ∈ R Nullstelle des Polynoms A(x)=(x-a) * B(x) ist.

Question

Es gilt folgendes Lemma ( ohne Beweis): ∈

Seien A(x) und B(x) polynome, wobei B(x) ungleich dem Nullpolynom ist.

 Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome Q(x) und R(x) mit : A(x)= Q(x) * B(x) +R(x)  UND   GRAD (R(x))< GRAD (B(x)):

Zeigen Sie dass,

a element R genau dann nullstelle eines Polynoms A(x) ist, wenn A(x)= (x-a) * B(x) für ein Polynom B(x) gilt,

Meine Frage nun, wie soll ich diese Teilaufgabe lösen, ohne Beweis? Also wie beginne ich? und worauf achte ich ? Bin mir unsicher, deswegen ist die Aufgabe für mich etwas komisch.

Answer 1

ich hätte die Aufgabe so gemacht

⇒ sei a nullstelle von A(x) dann gilt A(a)=0. Also A(x)=(a-a)B(x)=0 egal was B(x) ist (a-a) ist immer 0.

⇐ jetzt A(x)=(x-a)B(x) z.z a ist Null stelle von A(x).

also es muss gezeigt werden,dass A(x)=0. nach dem Lemma man kann A(x)=Q(x)B(x)+R(x) so schreiben.mit dem vergleich ist R(x)=0 und Q(x)=(x-a). also damit A(x)=0 wird muss entweder B(x)=0 oder Q(x)=0.jedoch ist B(x) ungleich Nullpolynom. dann Q(x) muss 0 sein

x-a=0 ⇒ x=a also a ist nullstelle eines Polynoms A(x)

Answer 2

Hi,
voraussetzten kannst Du ohne Beweis das gilt, zu jedem Polynom $B(x)$ gibt es eindeutige Polynome $Q(x)$ und $R(x)$ mit
$$A(x) = Q(x) \cdot B(x) + R(x)$$ und $\text{Grad} [R(x)] < \text{Grad} [B(x)]$

Jetzt sind zwei Dinge zu zeigen
(1) Aus $A(x) = (x - a) \cdot B(x)$ folgt $A(x)$ hat eine Nullstelle bei $x = a$

und

(2) Wenn $A(x)$ eine Nullstelle bei bei $x = a$ hat, folgt $A(x) = (x - a) \cdot B(x)$

Zu (1)
Sollte klar sein, weil gilt $A(a) = (a - a) \cdot B(a) = 0$

Zu (2)
Aus der Voraussetzung die nicht bewiesen werden muss folgt, das $A(x)$ eine Darstellung der Form $A(x) = Q(x) \cdot B(x) + R(x)$ besitzt mit $\text{Grad}[R(x)] < \text{Grad}[B(x)]$ für ein beliebiges Polynom $B(x)$. Wähle für $B(x)$ das Polynom $B(x) = (x - a)$ dann folgt, es gibt eindeutig bestimmte Polynome $Q(x)$ und $R(x)$ mit
$$A(x) = (x - a) \cdot Q(x) + R(x)$$ und $\text{Grad}[R(x)] < 1$, also $R(x) = r \in \mathbb{R}$

Da aber $a$ Nullstelle von $A(x)$ ist, gilt
$$0 = A(a) = R(a) = r$$ Also hat $A(x)$ eine Darstellung der Form
$$A(x) = (x - a) \cdot Q(x)$$

Damit ist alles bewiesen.