Ohne Beweis: Zeigen Sie dass, a ∈ R Nullstelle des Polynoms A(x)=(x-a) * B(x) ist.

Question

Es gilt folgendes Lemma ( ohne Beweis): ∈

Seien A(x) und B(x) polynome, wobei B(x) ungleich dem Nullpolynom ist.

 Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome Q(x) und R(x) mit : A(x)= Q(x) * B(x) +R(x)  UND   GRAD (R(x))< GRAD (B(x)):

Zeigen Sie dass,

a element R genau dann nullstelle eines Polynoms A(x) ist, wenn A(x)= (x-a) * B(x) für ein Polynom B(x) gilt,

Meine Frage nun, wie soll ich diese Teilaufgabe lösen, ohne Beweis? Also wie beginne ich? und worauf achte ich ? Bin mir unsicher, deswegen ist die Aufgabe für mich etwas komisch.

Answer 1

ich hätte die Aufgabe so gemacht

⇒ sei a nullstelle von A(x) dann gilt A(a)=0. Also A(x)=(a-a)B(x)=0 egal was B(x) ist (a-a) ist immer 0.

⇐ jetzt A(x)=(x-a)B(x) z.z a ist Null stelle von A(x).

also es muss gezeigt werden,dass A(x)=0. nach dem Lemma man kann A(x)=Q(x)B(x)+R(x) so schreiben.mit dem vergleich ist R(x)=0 und Q(x)=(x-a). also damit A(x)=0 wird muss entweder B(x)=0 oder Q(x)=0.jedoch ist B(x) ungleich Nullpolynom. dann Q(x) muss 0 sein

x-a=0 ⇒ x=a also a ist nullstelle eines Polynoms A(x)

Answer 2

Hi,
voraussetzten kannst Du ohne Beweis das gilt, zu jedem Polynom \( B(x) \) gibt es eindeutige Polynome \( Q(x) \) und \( R(x) \) mit
$$ A(x) = Q(x) \cdot B(x) + R(x) $$ und \( \text{Grad} [R(x)] < \text{Grad} [B(x)] \)

Jetzt sind zwei Dinge zu zeigen
(1) Aus \( A(x) = (x - a) \cdot B(x) \) folgt \( A(x) \) hat eine Nullstelle bei \( x = a \)

und

(2) Wenn \( A(x) \) eine Nullstelle bei bei \( x  = a \) hat, folgt \( A(x) = (x - a) \cdot B(x) \)

Zu (1)
Sollte klar sein, weil gilt \( A(a) = (a - a) \cdot B(a) = 0 \)

Zu (2)
Aus der Voraussetzung die nicht bewiesen werden muss folgt, das \( A(x) \) eine Darstellung der Form \( A(x) = Q(x) \cdot B(x) + R(x) \) besitzt mit \( \text{Grad}[R(x)] < \text{Grad}[B(x)] \) für ein beliebiges Polynom \( B(x) \). Wähle für \( B(x) \) das Polynom \( B(x) = (x - a) \) dann folgt, es gibt eindeutig bestimmte Polynome \( Q(x) \) und \( R(x) \) mit
$$ A(x) = (x - a) \cdot Q(x) + R(x)  $$ und \( \text{Grad}[R(x)] < 1 \), also \( R(x) = r \in \mathbb{R} \)

Da aber \( a \) Nullstelle von \( A(x) \) ist, gilt
$$ 0 = A(a) = R(a) = r $$ Also hat \( A(x) \) eine Darstellung der Form
$$ A(x) = (x - a) \cdot Q(x) $$

Damit ist alles bewiesen.