Konvergenz und Divergenz: |(2n^2 -n+1)/(3n^3+n-1)| < ε und jetzt komme ich nicht mehr weiter

Question

Ich hänge an dieser Aufgabe fest und komme irgendwie nicht weiter, kann mir bitte irgendjemand helfen? :

Ich soll bestimmen ob diese Folge konvergiert und gegebenenfalls einen Grenzwert angeben.

a_n=(2n^2 -n+1)/(3n^3+n-1)
Ich bin jetzt so vorgegangen:
(2n^2 -n+1)/(3n^3+n-1)                                                 /n^3 ausklammern
= (n^3*(2*1/n - 1/n^2 + 1/n^3))/(n^3*(1 + 1/n^2 - 1/n^3))       / jetzt kann ich n^3  kürzen und da 1/n gegen 0 läuft weiß ich= 0-0+0/1+0-0 = 0/1= 0
Also:
lim       a_n = 0n→∞
Ich vermute jetzt also, dass der Grenzwert meiner Folge 0 ist. Um das zu beweisen muss ja |a_n - Grenzwert| < ε Also:
|(2n^2 -n+1)/(3n^3+n-1) -0| < ε⇔ |(2n^2 -n+1)/(3n^3+n-1)| < ε         / Betragsstriche auflösen⇔ (2n^2 -n+1)/(3n^3+n-1)  < ε         


und jetzt komme ich nicht mehr weiter ... Ich weiß dass ich zu irgendeinem n kommen muss um zu beweisen,  dass der Grenzwert gilt nur weiß ich nicht ob ich das Abschätzen darf also sagen darf:
4/n < ε
oder ob ich das komplett umformen muss bis ich ein n auf einer Seite der Ungleichung stehen habe. Falls es so sein sollte und man auflösen muss bis n auf einer Seite der Ungleichung steht wäre ein bisschen Hilfe echt nett.

Comments

Oder kann es sein, dass ich durch das bestimmen eines Grenzwertes schon die Konvergenz bewiesen habe ?

---

Konvergent sind genau die Folgen, die einen Grenzwert haben.

---

Hmm also brauche ich alles was ich unten gemacht habe eigentlich nicht um anzugeben ob eine Folge konvergiert ? 

Ich muss also nur zeigen dass eine Folge einen Grenzwert hat und fertig?

Answer 1

Wenn Du schon weisst, dass um die Ecke ein gruenes Auto steht, dann brauchst Du die Frage, ob um die Ecke ein Auto steht, offensichtlich nicht noch extra zu behandeln.

Es ist aber bedenklich, dass Du die einfache Abschaetzung mit dem ε nicht hinkriegst.

Comments

Ich versteh das nicht komplett deswegen tue ich mich da ein bisschen schwer aber kann ich das so vielleicht machen :

Ich war ja schon hier 
(2n² -n+1)/(3n³+n-1)  < ε 

⇔ 2/3n < ε      / mit 3n multiplizieren

⇔2 < 3n * ε     / teilen durch ε

⇔ 2/ε  < 3n    / teilen durch 3

⇔ 2/ε*3  < n 


So hätte ich das jetzt gemacht aber ob das richtig ist weiß ich nicht genau. 

---

(2n² -n+1)/(3n³+n-1)  < ε 

⇔ 2/3n < ε

Wie kommt das zustande?

---

Ich habe mir gedacht, dass ich wie bei der Grenzwertbetrachtung vorgehen kann und einfach alles außer die größten Exponenten im Zähler und Nenner betrachten kann und habe dann n^2 ausgeklammert was aber falsch ist wie ich jetzt schon nach sehr viel lesen mitbekommen habe. 

Jetzt bin ich mir komplett unsicher ob ich richtig vorgegangen bin beim lösen der Betragsstriche und was ich falls es richtig war machen soll...
Ich hab ja die Möglichkeit bei  (2n² -n+1)/(3n³+n-1)  < ε    n^2 auszuklammern aber weiß dann auch ab einem bestimmten punkt nicht mehr weiter.

---

Wenn wir mit n=1 anfangen, sieht man ja, dass es nie negativ wird und man kann die Betragstriche weglassen. Danach schaetzt man grosszuegig nach oben ab. Bei einem Bruch macht man dazu den Zaehler groesser und den Nenner kleiner, bis man was einfaches dastehen hat. Erst dann setzt man <ε.

$$\frac{2n^2-n+1}{3n^3+n-1}\le\frac{2n^2-0+n^2}{3n^3+n-n}=\frac{1}{n}\stackrel{!}{<}\epsilon$$

---

Achso also erst so lange umformen bis man etwas leichtes stehen hat und dann kann man < ε machen. Wurde notiert :) . 

Eine Frage hätte ich noch. Muss man jetzt beweisen, dass der Zähler auch wirklich größer ist und der Nenner auch wirklich kleiner?
Ich habe irgendwie im Hinterkopf, dass man nur beweisen muss, dass der Nenner kleiner ist mit einer Nebenrechnung und dann reicht das.

---

Wenn Dir das so nicht klar genug ist, dann mach doch Nebenrechnung/Beweis. Mir ist das so ausreichend.

Es gibt nebenbei mehrere Moeglichkeiten, das abzuschaetzen. Man kann auch $$\frac{2n^2-n+1}{3n^3+n-1}=\frac{2n^2-\overbrace{(n-1)}^{\ge0}}{3n^3+\underbrace{(n-1)}_{{}\ge0}}\le\frac{2n^2}{3n^3}<\frac{1}{n}\quad\text{fuer $n\ge1$}$$ machen. Steht sogar dann das da, was Du urspruenglich angeboten hattest.

---

Ok Perfekt .

Ich danke dir vielmals für deine Hilfe und deine Geduld mit mir :)