Wie beweist man Divergenz für Folgen wie( (n^2)+2n)/3?

Question

Es ist vollkommen klar, dass es keine ober Schranke gibt, nur wie beweise ich das jetzt? (formell korrekt)

Meine Idee: |a_n+1-a_n| =( ((n+1)^2)+2(n+1))/3  +( (n^2)+2n)/3 >(n^2)+2n/3 + ( (n^2)+2n)/3 = 2*(((n^2)+2n)/3) > 1

=> Es existiert kein n₀ für ein a e R , das 0<Epsilon<1 erfüllt und somit existiert kein |an -a|<Epsilon.

Kann man das so schreiben? Fehlt was? Ist es womöglich komplett falsch?

Ich bedanke mich schonmal für jeden Hilfsversuch :)

Answer 1

Ich habe deine Idee nicht komplett durchgedacht (ist auch etwas schwer zu lesen), ich hätte bei der offensichtlich bestimmt divergenten Folge allerdings den Ansatz über den entsprechenden Satz gewählt:

$$\text{Eine Folge }(a_n)\text{ ist bestimmt divergent gegen }+\infty \quad[\text{bzw. }-\infty]\text{, wenn zu jedem }\varepsilon>0\text{ ein }n_0\in\mathbb{N}\text{ ex., mit }a_n>\varepsilon \quad[\text{bzw. }a_n<-\varepsilon]\text{ für alle } n>n_0\text{.}$$

Sei ε beliebig aber fest und ε>0.

$$\begin{aligned}\frac{n^2+2n}{3} &>\varepsilon\qquad &&|\cdot 3\\n^2+2n &>3\varepsilon &&|-3\varepsilon\\n^2+2n -3\varepsilon&>0 &&|\text{p-q-Formel, }n> 0\\n&>-1+\sqrt{1+3\varepsilon}\end{aligned}$$

$$\text{Man wähle also } n_0=\lceil{-1+\sqrt{1+3\varepsilon}}\text{ }\rceil+1=\lceil\sqrt{1+3\varepsilon}\text{ }\rceil$$

Zu einem formalen Beweis gehören wahrscheinlich noch ein paar Sätze extra.