Gleichungssystem. Werte der Parameter ermitteln, damit LGS unendlich viele Lösungen hat?

Question

Brauche eure Hilfe. Habe zwar die Lösungen der Aufgabe b=0.75 und c=10.5. Bin mir aber nicht sicher wie ich auf die Lösungen komme. Und was wäre wenn das gleichungsystem keine oder eine Lösung hat? Danke. Lg Lisa

Aufgabe

Gleichungssystem

Gegeben ist ein Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen in den Variablen \( x \), y \( \in \mathbb{R} \)
\( 2 x+3 y=7 \)
\( 3 x+b y=c, \) mit \( b, c \in \mathbb{R} \)


Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie diejenigen Werte für b und \( c \), für die das Gleichungssystem unendich viele Lösungen hat!

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Tipp: Sorge dafür, dass beide Zeilen als Lösungsmenge die Punkte der gleichen Geraden im Koordinatensystem haben. 

Answer 1

2x + 3y = 7   | * -3

3x + by = c   | * 2

-6x   - 9y = -21  

6x + 2by = 2c         addieren



-9y   + 2by   =   -21 + 2c

<==>    y* ( -9+2b)  =  -21 + 2c 


wäre die Klammer ungleich 0, dann gäbe es

genau eine Lösung y = (-21+2c) /  ( -9+2b )  [ und dazu das x ausrechnen.]


keine oder unendlich viele Lösungen haben so Gleichungen wie

0 * y = 3           oder   0*y = 0


Du hättest gern den 2. Fall (unendlich viele) dann muss es von der


Form   0 * y = 0  sein bei dir wegen 

y* ( -9+2b)  =  -21 + 2c 

also  -9+2b = 0   und   -21 + 2c = 0 

<=>       b=4,5      und   c = 10,5

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Danke, hast mir echt geholfen :) LG Lisa :)