Unendlich viele Lösungen LGS

Question

Liebe Lounge,

häufig liest man, dass wenn man ein LGS so umformt, dass die UNTERE GLEICHUNG eine wahre Aussage ergibt, das LGS dann unendlich viele Lösungen hat.

Ich habe mich nun gefragt, ob diese wahre Aussage IMMER nur in der untersten Gleichung auftaucht. oder ob auch in der unteren Gleichung z.B. x_3=1 herauskommen kann und dann durch einsetzen in die zweite Gleichung eine wahre Aussage entsteht.

Mein Ansatz: Ich glaube wenn man bevor die wahre Aussage entsteht schon alle Gleichungen irgendwie miteinander verrechnet hat, dann ist die Zeile tatsächlich die unterste (nach Gauß-Verfahren).

Hat man allerdings so etwas:

1 1 2    4

2 2 4    8

1 2 3    4

Dann würde ja die wahre Aussage zunächst in der zweiten Zeile entstehen. Würde es nicht mehr Sinn ergeben, zu formulieren:

"Wenn in einer Zeile des LGS eine wahre Aussage entsteht, so hat das LGS unendlich viele Lösungen!".

Ein weiteres Beispiel währe ja z.B.

1 1 0     0

1 0 0     1

0 1 0     -1

Hier würde man durch Rückeinsetzung ja in der obersten Zeile eine wahre Aussage erhalten.

Ich bin euch wie immer dankbar für Antworten. Im Idealfall auch mit einer Erklärung.

Bleibt gesund.

Liebe Grüße

Kombinatrix

Answer 1

Alles gut überlegt, allerdings muss man wohl noch eine Einschränkung machen.

Wenn du etwa so etwas hast wie

1  1    1    1 
0  0    0    1
0  0    0    0

Dann hast du zwar einmal eine wahre Aussage, aber auch

einmal eine falsche. Allgemein kann man wohl sagen:

Wenn es genauso  viel Gleichungen wie Variabelen gibt

und es kommen eine oder mehrere falsche Aussagen vor, dann gibt es

keine Lösung. Anderenfalls, wenn es mindestens eine wahre Aussage

gibt, dann hat man unendlich viele Lösungen.

Bei deinem 2. Beispiel hätte man ja bei ganz konsequenter

Anwendung des Gaussverfahrens von der 2. Gleichung die erste abgezogen

und dann mit Hilfe dieser neuen 2. Gleichung die dritte zu

einer Nullzeile gemacht. Dann wäre die wahre Aussage

tatsächlich unten.