Beweisen Sie per Induktion: Für alle n∈ℕ ist an < 2.

Question

Wir definieren eine Folge (a_n )_n∈ℕ rekursiv durch

a₁ := √2 ,

a_n+1 := √(2+a_n )

Beweisen Sie per Induktion:

Für alle n∈ℕ ist a_n < 2.

Mein Lösungsvorschlag: 

$$ Indtuktionsanfang:\quad Es\quad gilt\quad für\quad { a }_{ 1 }=\sqrt { 2 } \\ { a }_{ 1 }\quad <\quad 2\\ \sqrt { 2 } <\quad 2\\ \\ Induktionsschrit:\quad Wenn\quad das\quad für\quad { a }_{ n }\quad gilt,\quad dann\quad muss\quad auch\quad für\quad { a }_{ n+1 }\quad gelten.\\ { a }_{ n+1 }\quad ist\quad schon\quad gegeben,\quad also\quad { a }_{ n+1 }\quad =\quad \sqrt { 2+a_{ n } } \\ \\ \sqrt { 2+a_{ n } } <\sqrt { 2+2 } \\ \sqrt { 2+a_{ n } } \quad <\quad 2 $$

Answer 1

Hallo certi,

das ist richtig

Du hast die vollständige Induktion verstanden :-)

Gruß Wolfgang

Comments

etwas formaler:

Folge a_n  mit   a₁ = √2   und   a_n+1 :=  √(2 + a_n)

Behauptung:

A(n):  Für alle n∈ℕ gilt   a_n < 2  

Beweis durch vollständige Induktion:

A(1):   a₁ = √2 < 2   ist wahr

A(n)  →  A(n+1):  

⇔   a_n < 2  →  a_n+1 < 2    ( Induktionsvoraussetzung IV)

Es gilt:

a_n+1  =  √(2 + a_n)   <_IV  √(2 + 2) = √4  =  2