Zinssatz berechnen - Formel umformen

Question

ich weiß bereits dass ich diese Formel verwenden muss;

10000 * (i + 1)²⁰  =  802,43 * ((i + 1)²⁰ - 1) / i

   i sollte 0,05 sein

aber ich schaffe es einfach nicht die Formel nach i umzuformen, kann mir jemand helfen und Zwischenschritte einbauen? Lg

Comments

guck mal bei wikipedia - da stehen alle Rentenformeln mit Umstellungen

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haben Sie zufällig einen Link? ich finde leider nichts passendes, nur Sachen wie Laufzeit berechnen etc.

Lg

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gelöscht wegen verguckt und verpennt ...

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Bei genauerem Hinsehen fällt auf, dass bei Deinem Ansatz auf der linken Seite der Gleichung die Verzinung ohne Raten berechnet wird - dawürdichdochnochma nachschaun ...

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@pleindespoir

> guck mal bei wikipedia - da stehen alle Rentenformeln mit Umstellungen

Man sollte nichts versprechen, was man nicht halten kann :-)

> Bei genauerem Hinsehen fällt auf  ...  

dass es sich hier um die Sparkassenformel für Kapitalabbau mit Endwert 0 handelt.

vgl. meine Antwort

Answer 1

Hallo MP,

explizit nach i umformen lässt sich deine Formel leider nicht.

mit  x = q = i + 1

K * xⁿ = r * (xⁿ - 1) / (x-1)   | * (x-1)

K * xⁿ * (x-1) = r * (xⁿ - 1)

K * xⁿ⁺¹ - K * xⁿ = r * xⁿ - r   | - r * x^n   | + r

K * xⁿ⁺¹ - (K+r) * xⁿ + r  = 0

Du suchst also die Nullstellen der Funktion

f(x)  =  10000 * x²¹ - 10802,43 * x²⁰ + 802,43

Dazu fällt mir nur ein Näherungsverfahren ein.

Newtonverfahren:

f(x)  =  10000 * x²¹ - 10802,43 * x²⁰ + 802,43 = 0

f '(x) = 210000 * x²⁰ - 216048,6 * x¹⁹ 

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert  findet man - auch mit einem einfachen Taschenrechner -  immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)

Du weißt allerdings i.A. nicht, ob du alle NS gefunden hast und manchmal konvergiert das Verfahren nicht (wenn du für x_alt zum Beispiel eine  Extremstelle erwischt).  

Deshalb ist es gut, wenn man - wie hier - eine gewisse Vorstellung von der Lage der gesuchten Nullstelle hat.

Man könnte z.B. bei 6% Zinssatz ,  also mit  x = 1,06 anfangen:

x	f(x)	f '(x)
1,06	153,2095664	19821,91258
1,052270697	27,47273302	12975,21219
1,050153373	1,727032012	11361,3401
1,050001363	0,008509545	11249,46698
1,050000607	2,10064E-07	11248,91158
1,050000607	-3,97904E-12	11248,91157
1,050000607	3,29692E-12	11248,91157
1,050000607	0	11248,91157

→  x ≈ 1,05    →    i ≈ 0,05

( "von Hand" kann man natürlich auch schon nach 4 - 5 Schritten aufhören :-))

Gruß Wolfgang