Hallo MP,
explizit nach i umformen lässt sich deine Formel leider nicht.
mit x = q = i + 1
K * xn = r * (xn - 1) / (x-1) | * (x-1)
K * xn * (x-1) = r * (xn - 1)
K * xn+1 - K * xn = r * xn - r | - r * x^n | + r
K * xn+1 - (K+r) * xn + r = 0
Du suchst also die Nullstellen der Funktion
f(x) = 10000 * x21 - 10802,43 * x20 + 802,43
Dazu fällt mir nur ein Näherungsverfahren ein.
Newtonverfahren:
f(x) = 10000 * x21 - 10802,43 * x20 + 802,43 = 0
f '(x) = 210000 * x20 - 216048,6 * x19
Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert findet man - auch mit einem einfachen Taschenrechner - immer bessere Werte mit der Formel
xneu = xalt - f(xalt) / f ' (xalt)
Du weißt allerdings i.A. nicht, ob du alle NS gefunden hast und manchmal konvergiert das Verfahren nicht (wenn du für xalt zum Beispiel eine Extremstelle erwischt).
Deshalb ist es gut, wenn man - wie hier - eine gewisse Vorstellung von der Lage der gesuchten Nullstelle hat.
Man könnte z.B. bei 6% Zinssatz , also mit x = 1,06 anfangen:
| x | f(x) | f '(x) |
| 1,06 | 153,2095664 | 19821,91258 |
| 1,052270697 | 27,47273302 | 12975,21219 |
| 1,050153373 | 1,727032012 | 11361,3401 |
| 1,050001363 | 0,008509545 | 11249,46698 |
| 1,050000607 | 2,10064E-07 | 11248,91158 |
| 1,050000607 | -3,97904E-12 | 11248,91157 |
| 1,050000607 | 3,29692E-12 | 11248,91157 |
| 1,050000607 | 0 | 11248,91157 |
→ x ≈ 1,05 → i ≈ 0,05
( "von Hand" kann man natürlich auch schon nach 4 - 5 Schritten aufhören :-))
Gruß Wolfgang
