Die Funktion f(x) und ihre Tangente t(x) = mx + b an der Stelle x0 haben dort die gleiche Steigung:
(1) t'(x0) = f'(x0).
Ersetze t'(x0) und f'(x0) durch die jeweiligen Terme, setze den Wert für x0 ein und löse die Gleichung. Ergebnis ist die Steigung der Tangente. Setze sie in die Funktionsgleichung der Tangente ein.
Die Funktion f(x) und ihre Tangente t(x) = mx + n an der Stelle x0 haben dort den gleichen Funktionswert:
(2) t(x0) = f(x0).
Ersetze t(x0) und f(x0) durch die jeweiligen Terme, setze den Wert für x0 ein und löse die Gleichung. Ergebnis ist der y-Achsenabschnitt der Tangente. Setze ihn in die Funktionsgleichung der Tangente ein.
Für die Steigung m der Normalen n(x) = mx + b gilt m = -1/f'(x0). Den y-Achsenabschnitt berechnest du genau so wie bei der Tangente.
Beispiel. Gegeben: f(x) = 2x3 - 5x, x0 = -1. Gesucht: Funktionsgleichung der Tangente t(x) = mx + b von f(x) an der Stelle x0.
f'(x) = 6x2 - 5, also f'(-1) = 6·(-1)2 - 5 = 1
t(x) = mx + b, also t'(x) = m, also t'(-1) = m
Gleichung (1) wird also zu
m = 1.
f(-1) = 2·(-1)3 - 5·(-1) = -2 + 5 = 3
t(x) = 1·x + b, also t(-1) = 1·(-1) + b = -1 + b
Gleichung (2) wird also zu
3 = -1 + b
was b = 4 liefert. Einsetzen in die allgemeine Tangentengleichung ergibt
t(x) = x + 4
> f(x) = 2x - 1/3x
Ich zweifle stark daran, dass das die Funktion ist, von der die Tangente berechnet werden soll. Daher erspare ich mir die Prüfung deiner weiteren Rechnung.