bestimmen sie die Gleichung der tangente und der normalform an den Graph von f(x) im Punkt p0 (x0/f(x))

Question

f(x) = 2x - 1/3x       x0=1

Nomalform;

f(x) = 2(1)- 1/3(1) = 2/2 -1/3 = 6/6-2/6= 4/6 --> 2/3 

Ableitung;

f'(x) = 2- (-1/3x²)

f'(x) = 2- (-1/3(1)²  = 2/2 + 1/3 = 6/6+2/6= 8/6 → 1 2/3 

Stimmt das so ? Muss ich dann die Tangentengleichung benutzten ? 

Comments

Ist das hier gemeint?

$$ f(x) = 2x - \dfrac{1}{3x}, \quad x_0=1$$

Was soll "bestimmen sie die Gleichung ... der normalform" bedeuten? Muss es vielleicht "der Normalen" heißen?

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Ja, ist auf dem Handy blöd.. aber so sieht die Rechnung aus.

Answer 1

Die Funktion f(x) und ihre Tangente t(x) = mx + b an der Stelle x₀ haben dort die gleiche Steigung:

(1)        t'(x₀) = f'(x₀).

Ersetze t'(x₀) und f'(x₀) durch die jeweiligen Terme, setze den Wert für x₀ ein und löse die Gleichung. Ergebnis ist die Steigung der Tangente. Setze sie in die Funktionsgleichung der Tangente ein.

Die Funktion f(x) und ihre Tangente t(x) = mx + n an der Stelle x₀ haben dort den gleichen Funktionswert:

(2)        t(x₀) = f(x₀).

Ersetze t(x₀) und f(x₀) durch die jeweiligen Terme, setze den Wert für x₀ ein und löse die Gleichung. Ergebnis ist der y-Achsenabschnitt der Tangente. Setze ihn in die Funktionsgleichung der Tangente ein.

Für die Steigung m der Normalen n(x) = mx + b gilt m = -1/f'(x₀). Den y-Achsenabschnitt berechnest du genau so wie bei der Tangente.

Beispiel. Gegeben: f(x) = 2x³ - 5x, x₀ = -1. Gesucht: Funktionsgleichung der Tangente t(x) = mx + b von f(x) an der Stelle x₀.

f'(x) = 6x² - 5, also f'(-1) = 6·(-1)² - 5 = 1

t(x) = mx + b, also t'(x) = m, also t'(-1) = m

Gleichung (1) wird also zu

        m = 1.

f(-1) = 2·(-1)³ - 5·(-1) = -2 + 5 = 3

t(x) = 1·x + b, also t(-1) = 1·(-1) + b = -1 + b

Gleichung (2) wird also zu

        3 = -1 + b

was b = 4 liefert. Einsetzen in die allgemeine Tangentengleichung ergibt

        t(x) = x + 4

> f(x) = 2x - 1/3x

Ich zweifle stark daran, dass das die Funktion ist, von der die Tangente berechnet werden soll. Daher erspare ich mir die Prüfung deiner weiteren Rechnung.

Answer 2

Ist \(f(x)\) eine an der Stelle \(x=a\) differenzierbare Funktion, dann ist

$$ y = f'(a)\cdot \left(x-a\right)+f(a) $$eine Gleichung der Tangente an \(f\) im Punkt \(\left(a\,|\,f(a)\right)\).

 

Falls \(f'(a) \ne 0\) ist, ist

$$ y = -\dfrac{1}{f'(a)}\cdot \left(x-a\right)+f(a) $$ eine Gleichung der Normale zu \(f\) durch den Punkt \(\left(a\,|\,f(a)\right)\).

 

Das ist jeweils die Punkt-Steigungs-Form der Geradengleichung angewendet auf das Tangenten-/Normalen-Problem. Bei Verwendung dieser einfach zu merkenden und bereits aus der Mittelstufe bekannten Formel lassen sich die gesuchten Geradengleichungen sofort und ohne weitere Rechnung hinschreiben.

 

Wende das auf die vorliegenden Daten an: 

$$ f(x) = 2x - \dfrac{1}{3x}, \quad a=1 $$