Reihe Alltagsbeispiel Aufgabe

Question

Ein Gummiball fällt aus einer Höhe $${h}$$ zu Boden. Der Ball springt zurück, erreicht jedoch nur die Höhe $$\frac { 4 }{ 5 } h$$ , fällt wiederum, steigt dann auf das $$\frac { 4 }{ 5 }$$ -fache der zuletzt erreichten Höhe und so weiter. Welchen Gesamtweg legt der Ball zurück , wenn man ihn ungestört springen lässt ?

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Hallo.

Ein Ping-Pong Ball fällt aus einer Höhe h zu Boden. Der Ball springt zurück, erreicht jedoch nur die Höhe 4/5 h , fällt wiederum , steigt dann auf das 4/5 - fache der zuletzt erreichten Höhe und so weiter. Welchen Gesamtweg legt der Ball zurück, wenn man ihn ungestört hüpfen lässt???

Ping-Pong-ball fällt aus einer Höhe Berechnung des Gesamtweges.

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Hallo Karl,

ich habe gestern die gleiche Frage beantwortet:

https://www.mathelounge.de/445211/reihe-alltagsbeispiel-aufgabe

Gruß Wolfgang

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Das war ein anderer Fragesteller !?

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Ist ja eigentlich egal. Der braucht ja nicht unbedingt eine individuelle Antwort (?)

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Hallo.Vielen Dank für die Antwort. Nein eine individuelle Antwort wird nicht benötigt, mir reicht der link auch vollkommen aus.

Answer 1

Hallo MatheERSTI,

der Gesamtweg ist

h + 2 * 4/5 * h + 2 * (4/5)² * h + 2 * (4/5)³ * h + ....

=  h + 2h * \(\sum\limits_{k=1}^{∞} (4/5)^k\)  =  h - 2h + 2h * \(\sum\limits_{k=0}^{∞} (4/5)^k\)

             [in der Summe wurde für k=0 der Summand1 hinzugefügt und dafür                                         vorn 2h * 1   wieder abgezogen]

=  h - 2h + 2h * 1 / (1 - 4/5)  =  h - 2h + 2h * 5  =  9h

                       (Grenzwert der geometrischen Reihe)

Gruß Wolfgang

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Hab auch 9h raus

Answer 2

∑(2·h·(4/5)^k, k, 0, ∞) - h = 9·h

Der Ball legt das 9-Fache der Höhe als Gesamtweg zurück.

Benutze bei der Vereinfachung die Formel zur geometrischen Reihe.