Hallo Sonnenblume,
zu 1)
Für eine konstante Funktion g mit g(x) = c ist jede Stelle x sowohl lokale Minimum- als auch lokale Maximumstelle. Sei also im Folgenden f in keinem Teilintervall von ℝ konstant. [editiert]
f(x) =x∈ℝ f (-x) →Kettenregel f '(x) =x∈ℝ - f ' (-x) → f '(0) = - f ' (0)
→ 2 * f '(0) = 0 → f '(0) = 0
Für ε ∈ ℝ+ ist f '(ε) = - f '(-ε) → f ' hat einen Vorzeichenwechsel bei x=0
x = 0 ist also in jedem Fall eine lokale Extremstelle.
Nachtrag:
Fakename hat inzwischen hier ein Beispiel angegeben, das zeigt, dass 0 keine lokale Extremstelle sein muss. Allerdings hat diese Funktion andere Extremstellen und ist deshalb kein Gegenbeispiel bzgl. Aussage 1)
https://www.mathelounge.de/447283/existiert-f-r-r-diffbar-mit-f-x-f-x-ohne-lokale-extremstelle-in
zu 2)
Gegenbeispiel:
wegen cos(x) = cos(-x) ist die Funktion mit f(x) = x2 * cos(x) gerade und weder nach oben noch nach unten beschränkt, nimmt also weder ein globales Minimum noch ein globales Maximum an,
denn limx→ ± ∞ x2 = ∞ und 1 ≤ cos(x) ≤ 1 und cos(x) wechselt bei x = (k+1) * π/2 mit k∈ℤ jeweils das Vorzeichen.
Gruß Wolfgang