Komplexen Grenzwert einer Reihe bestimmen Σ_{n=1}^{∞}((1+i)/2)^n

Question

Gesucht:

(a) einen Beweis der Konvergenz

(b) den Grenzwert (falls konvergent)

zu

$$ \sum_{n=1}^\infty \left({1+i \over 2}\right)^n $$

Answer 1

Das ist doch eine geometrische Reihe wenn man das Folgenglied für n = 0 abzieht. Du musst überprüfen ob gilt \(  \left|  \frac{1+i}{2} \right| < 1 \). Dann ist die Reihe konvergent.

Comments

Geometrische Reihe ist klar.

$$ \left| {1+i \over 2} \right| = {1 \over \sqrt2} < 1 $$

Wie kommst Du auf den Zusammenhang?

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https://de.m.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Answer 2

Hallo MLfragen,

\(\sum\limits_{n=1}^{∞} ((1+i)/2)^n\)  =  -1 + \(\sum\limits_{n=0}^{∞} ((1+i)/2)^n\)

| (1+i)/2 | = √( (1/2)² + (1/2)²) = 1/2 * √2  < 1  →  Konvergenz , denn 

die geometrische Reihe  \(\sum\limits_{n=0}^{∞} q^n\)  mit |q| < 1  hat den Grenzwert   1 / (1- q)

Mit  q = (1+i) / 2  ergibt sich \(\sum\limits_{n=0}^{∞} ((1+i)/2)^n\)  = 1 / [ 1 - (1+i)/2 ] = 1 / (1/2 - i/2)  

Erweitert man 1 / (1/2 - i/2)  mit 1/2 + i/2 ,  hat man   \(\sum\limits_{n=0}^{∞} ((1+i)/2)^n\) = 1 + i

Insgesamt also:

\(\sum\limits_{n=1}^{∞} ((1+i)/2)^n\)  = -1 + \(\sum\limits_{n=0}^{∞} ((1+i)/2)^n\) = -1 + 1 + i   =  i

Gruß Wolfgang