Wenn |f(x)|≤ | g(x)| und g(x) hat den Grenzwert null, ist Grenzwert von f(x) dann auch null?

Question

Hey:)

Mal eine Frage zu der Aufgabe:

Ich muss mir jetzt eine Funktion überlegen, sodass das immer gilt.

Beziehungsweise es allgemein beweisen ...falls es stimmt, aber ich gehe davon aus, dass es passt, weil bildlich ist es für mich logisch.

Wenn ich g(x)=1/x habe und f(x)=1/x^2 dann passt j die Aussage. Aber wie ich das formal aufschreibe, weiß ich nicht.

Answer 1

Hallo Blümchen :-),

Voraussetzung:   | f(x) | ≤ | g(x) |  f.a. x∈ℝ  und  lim_x→∞ g(x) = 0  

Für jedes ε ∈ ℝ⁺ gibt es  also eine reelle Zahl  z(ε)  mit:

                                                            | g(x) - 0 | = | g(x) | < ε  für alle x > z(ε)  

Sei nun ε ∈ ℝ⁺ ,  dann gilt:

| f(x) - 0 | = | f(x) |  ≤_Vor.  | g(x) | <_Vor.  ε   für alle  x > z(ε)      [ z(ε) aus der Voraussetzung ]

→  lim_x→∞ f(x) = 0

Liebe Grüße     Wolfgang

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immer noch immer wieder gern :-)