Untersuchen, ob Grenzwerte existieren: a) lim_(x->2) |x-2|/(x^2 - 4)

Question

ich soll überprüfen, ob die folgenden Grenzwerte existieren. Falls ja, soll ich den Grenzwert angeben.

$$a)\lim_{ n\rightarrow 2}{\frac{|x-2|}{4-{x}^{2}}}\quad\quad b)\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{\sin{\left(\frac{1}{x}\right)}}{x}}$$

Wenn ich nun bei a) 2 einsetze kommt 0/0 raus. Das funktioniert ja nicht. Also existiert kein Grenzwert?

Comments

Hallo Community! 

Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe und wäre über Ansätze oder einen Lösungsweg sehr dankbar!

Grenzwert lim_(x->2) |x-2|/(4-x)^2 und Monotonie 

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(a) und (b) wurden in den letzten Tagen beide schon besprochen. Benutze bitte die Suche oder einfach die Liste der vorhandenen Fragen. 

EDIT: Bereits gefunden: (a) und deine Frage hierhin umgeleitet. 

Answer 1

Zur Kontrolle deiner Vermutung kannst du deine Terme hier eingeben:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cx-2%7C%2F(x%5E2+-+4) 

Schon im Graphen zeigt sich, dass in der Definitionslücke x=2  eine Sprungstelle zu sehen ist. Der verlangte Grenzwert existiert nicht. 

Nur: Deine Argumentation genügt nicht, da du im Prinzip in die falsche Richtung argumentierst. Versuche das vielleicht mit einer Fallunterscheidung x<2 und x>2 . 

Comments

hallo Lu,

Wieso brauche ich hier eine Fallunterscheidung? Also limes +-→unendlich?

$$\frac{|x-2|}{4-{x}^{2}}$$Kann ich hier, wie üblich ein x ausklammern und kürzen? Ich frage deshalb, weil mich dabei der Betrag im Zähler verunsichert. Dann hätten wir (wenn das Kürzen erlaubt ist) in diesem Fall, dass es gegen Null geht.

Aber was habe ich dann davon?

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Hallo John.

In deiner Aufgabe steht n-> 2. Gemeint ist vermutlich x-> 2. 

Und bei x=2 hat der Graph eine Sprungstelle. 

Du kannst (musst nicht) die Fälle links und rechts von x=2 separat anschauen. 

Schau mal, wie Wolframalpha einen einfacheren Betrag kürzt https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cx%7C%2Fx .

Oder für die vereinfachte Funktion Grenzwerte angibt https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+%7Cx%7C%2Fx 

|x-2| = x-2 , falls x≥ 2

und

|x-2| = - (x-2) , falls x≤ 2 

x=2 ist bei deiner Funktion eine Defintionslücke. Kannst du somit weglasse in der Fallunterscheidung.

Unterscheide also

1. Fall x> 2  und 2. Fall x<2. 

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Verstehe...

1. Fall x> 2 und 2. Fall x<2. Für beide Fälle geht es gegen 0. Was für ein Schluss kann ich nun daraus ziehen? Und wie würde denn der Beweis ohne Fallunterscheidung aussehen? 

Danke.