Taylorpolynom von f(x)=(x+1)*sinx berechnen

Question

Fragestellung lautet:

Ermitteln sie die ersten 3 nicht verschwindenden Glieder des Taylorpolynoms der Funktion :

f(x)=(x+1)*sinx

mit der Entwicklungsstelle x0=0.

wie muss ich da ran gehen?  es ist kein grad gegeben. wieviele Ableitungen muss ich denn machen?

Comments

Du musst keine Ableitungen machen.

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sondern? wie gehe ich dort vor?

Answer 1

ƒ(x) = (x + 1)·sin(x) = x·sin(x) + sin(x). Die Reihe für sin(x) kann vermutlich als bekannt vorausgesetzt werden.

Comments

verstehe ich nicht

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wie muss ich das denn rechen?

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\(\phantom x\sin x=x-\tfrac16x^3+\cdots\)
\(x\sin x=x^2-\tfrac16x^4+\cdots\)
Nun addieren.

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was ist mit(x+1)???

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Es wurde ausmultipliziert.

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WIESO MUSS ICH JETZT KEINE Ableitungen machen?

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Addiere zwei bereits bekannte Reihen.

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wie kommst du denn auf sinx= 1/6x^3+.... und x*sinx= x^2......???. wo holst du die Ergebnisse da her?

Answer 2

Hallo dtfahrer,

nn hat mit "Du musst keine Ableitungen machen" natürlich recht, wenn du die Sinusreihe benutzt:

https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus      [3.1]

Du darfst aber auch die Ableitungen von f solange ausrechnen, bis sich beim Einsetzen in drei Ableitungen jeweils ein Wert ≠ 0 ergibt und dann damit "ganz normal" das Taylorpolynom  mit diesen drei Gliedern bilden. (Hier sind das einfach die drei ersten "echten" Ableitungen, weil f⁽⁰⁾ (0) = f(0) = 0 ist )

Das Ergebnis kannst du hier kontrolieren:

http://de.numberempire.com/taylorseriesexpansion.php?function=%28x%2B1%29%2Asin%28x%29&var=x&val=0&answers=&power=3

Gruß Wolfgang

Comments

wieviele Ableitungen müsste ich denn machen von f?

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hab 3 Ableitungen gemacht und da kommt jeweils nicht 0 raus, spricht dort sind keine verschwundenen Glieder, richtig so ausgedrückt??

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bekomme bis x³ die werte so auch raus in die  3 Ableitungen eingesetzt

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Leitest du denn ab oder integrierst du?

"die ersten 3 nicht verschwindenden Glieder "

Wenn du die Siusreihen nicht verwenden möchtest, musst du so lange weiter ableiten, bis du 3 mal nicht 0 bekommen hast. 

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> hab 3 Ableitungen gemacht und da kommt jeweils nicht 0 raus, spricht dort sind keine verschwundenen Glieder, richtig so ausgedrückt??

Ja.

Hier sind das einfach die drei ersten "echten" Ableitungen, weil f⁽⁰⁾ (0) = f(0) = 0 ist 

Habe das gerade in der Antwort präzisiert.

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hab der ersten 1 raus, bei der zweiten 1raus, und bei der dritten -1/6 raus!

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Für  f⁽ⁿ⁾ (0) / n!   ist das jeweils richtig.

Kannst du auch kontrollieren, wenn du den unteren Link anklickst.

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JA DAS PASST DANN AUCH!

VIELEN Dank für die Hilfe!