Rätsel aus Linearer Algebra. n≥2 Punkte auf Rand des Kreises. Jeder Punkt wird mit jedem anderen verbunden. Polynom?

Question

Wie löst man dieses Rätsel?

Gegeben seien n ≥ 2 Punkte auf dem Rand eines Kreises. Jeder Punkt wird mit jedem anderen Punkt verbunden. Dadurch wird das Kreisinnere in N(n) Gebiete unterteilt. Wenn wir das graphisch durchfuhren, erhalten wir N(2) = 2, N(3) = 4, N(4) = 8 und N(5) = 16. Die Abbildung N kann durch ein Polynom vom Grade 4 beschrieben werden. Finden Sie dieses Polynom und überprüfen Sie die Richtigkeit der Formel fürn = 6. 

Answer 1

das ist "Leo Mosers Kreis- und Punkteproblem"

und die Formel heißt

$$ z = n+\left( {n \atop 4} \right) + \left( {n-1 \atop 2} \right) $$

und wenn Du sie unbedingt als Polynom willst:

$$ z = {n^4-6n^3+23n^2-18n+24 \over 24} $$

Grüße,

M.B.

Answer 2

$$ N(2) = 2; N(3) = 4; N(4) = 8 ; N(5) = 16 $$
$$N(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$
$$N(2)=a(2)^4+b(2)^3+c(2)^2+d(2)+e$$
$$N(3)=a(3)^4+b(3)^3+c(3)^2+d(3)+e$$
$$N(4)=a(4)^4+b(4)^3+c(4)^2+d(4)+e$$
$$N(5)=a(4)^4+b(4)^3+c(4)^2+d(4)+e$$

Nun finde die Parameter a,b,c,d,e durch Lösen des Gleichungssystems heraus ...

... das war aber noch nicht alles !