Nullstellen von f(x) = -5/81 x^4 + 10/9 x^2 - 1 und f '(x) = -20/81 x^3 + 20/9 x?

Question

Könnt ihr mir helfen. Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich hier die Nullstellen berechnen soll. Es sollen die Nullstellen von der Ableitung berechnet werden damit man später Hoch und Tiefpunkte ausrechnen kann.

Ich denke mal meine Ableitung ist richtig :D

Answer 1

"bin mir nicht ganz sicher wie ich hier die Nullstellen berechnen soll."

1. Nullstellen von f(x) bekommst du über eine biquadratische Gleichung. Substituiere u = x^2. Theorie dazu S.8 in folgendem pdf http://media.kswillisau.ch/ma/repetition/Quadratische_Gleichungen.pdf

2. Nullstellen von f'(x) bekommst du, wenn du in f'(x) erst mal den Faktor x ausklammerst. Dann hast du in der Klammer noch einen quadratischen Term. 

Comments

Ach klar ausklammern hab ich total vergessen danke

Answer 2

Die Ableitung ist richtig. Die Nullstellen der Ableitung findet man nach Ausklammern und Anwenden der dritten binomischen Formel:: 0=20/81·x·(-x²+9)= 20/81·x·(3-x)·(3+x). Jeder dieser Faktoren kann 0 sein x₁=0, x₂=3, x₃=-3.

Die Nullstellen der Ausgangsfunktion findet man, indem man x² =z setzt, die quadratische Gleichung für z löst und dann wieder rücksubstituiert.

Answer 3

Ohne Substitution:
Nullstellen von \( f(x) = -\frac{5}{81}x^4 + \frac{10}{9} x^2 - 1\)

\(-\frac{5}{81}x^4 + \frac{10}{9} x^2 - 1=0|\cdot(-\frac{81}{5})\)

\(x^4 -18 x^2=-\frac{81}{5}\)

\(x^4 -18 x^2+9^2=-\frac{81}{5}+9^2\)

\( (x^2 -9)^2=\frac{324}{5}|±\sqrt{~~}\)

1.)

\( x^2 -9=\frac{18}{\sqrt{5}}\)

\( x^2 =9+\frac{18}{\sqrt{5}}\)

\( x_1 =\sqrt{9+\frac{18}{\sqrt{5}}}\)

\( x_2 =-\sqrt{9+\frac{18}{\sqrt{5}}}\)

2.)

\( x^2 -9=-\frac{18}{\sqrt{5}}\)

\( x^2 =9-\frac{18}{\sqrt{5}}\)

\( x_3 =\sqrt{9-\frac{18}{\sqrt{5}}}\)

\( x_4 =\sqrt{9-\frac{18}{\sqrt{5}}}\)