Ist dies eine Korrekte auflösung des Bruches? oder kann ich ohne Auflösung das h gegen null laufen lassen?

Question

Ich habe die erste Variante gemacht

a) Hab ich den Bruch korrekt umgeformt oder  b) ist die zweite Variante auch möglich?

1. Variante

Befor ich das h "gegen Null laufen lasse und streiche" ziehe ich den Bruch auseinander.

h≠0 ist am Anfang der Grenzwertdefinition von mir notiert worden.

$$\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } =\frac { -4 }{ { 3x }^{ 2 }+3h } =\frac { -4 }{ { 3x }^{ 2 } } +\frac { -4 }{ 3h } \\ \Rightarrow m_{ s }=-\frac { 4 }{ { 3x }^{ 2 } } $$

2. Variante

Ich lasse das h gegeb Null lasse den Bruch so wie er ist.


$$\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } =\frac { -4 }{ { 3x }^{ 2 }+3h } \\ \Rightarrow m_{ s }=-\frac { 4 }{ { 3x }^{ 2 } }  $$

Answer 1

Möglich ist nur die zweite Variante.  So auseinanderziehen kann man nur  Additionen im Zähler,  beide denen der Nenner gleich bleibt.

Rechne das mit einem Zahlenbeispiel nach.  
Außerdem hast du noch einen weiteren Fehler in dem ersten Teil gemacht. Wenn links vom Gleichzeichen ein Limes steht,  und du formst nur den Bruch um,  so musst du den Limes rechts auch beibehalten.

Comments

Aha okay, das heisst ich vereinfache bis ich nicht mehr weiter vereinfachen kann, dass ist bei der Grenzwertdefinition meistens dann der fall nachdem man das h ausgeklammert hat und gestrichen hat. 

danach sage ich Lim mit h läuft gegen Null und Forme im prinzip nicht mehr um sondern schaue, was passiert mit dem Summand wenn ich h gegen null laufen lasse, => der wird vernachlässigbar klein. 

Also schreibe ich m_(t) = -4/3x^{2}

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und wenn ich nachdem ich schreibe Lim h läuft gegen null nochmal umforme schreibe ich nach dem Gleichheitszeichen wieder Lim von der umgeformten Funktion? oder, das meinst du ?

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Genau.  Du hast eine Gleichheit dort.  Wenn du auf der linken Seite einen Grenzwert hast,  so muss auf der rechten Seite auch ein Grenzwert sein.

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Thank you very much ! :)