Für welche Punkte des Graphen f(x) geht die Tangente durch P ( 0 I 0 )

Question

Aufgabenstellung

Für welche Punkte des Graphen f(x) geht die Tangente durch P ( 0 I 0 )

f(x) = -x^{2} + x - 1

Eine Tangente hat die Form y=m*x+q

Gedanke 1
Die Steigung der Tangente ist = f'(x)

f'(x) = -2x + 1

Gedanke 2

Ich muss nun herausfinden wo auf f(x) die Tangente durch den Ursprung geht P ( 0 I 0 ) oder wo die Tangente die Steigung 

y = m*x+q I m = -2x +1

y = (-2x + 1)*x +1  I y=0, x=0
0 = (-2x + 1)*0 + 1
0 = 1

Führt mich nicht ans Ziel

Zweiter Versuch

y = (-2x + 1)*x +1  I y=0, x=0
y = (-2x^{2} + x + 1
y = 1

Um die x-Koordinate zu erhalten setze ich y=1 in f(x) ein

1 = -x^{2} + x - 1
0 = x^{2} + x 
0 = x(x+1)

x1 = 0
x2 = -1

Ist die Antwort x=-1 und x=0 ? 

ICh habe hier den Durchblick verloren :-/

Answer 1

f(x) = - x^2 + x - 1

Bedingung

(f(x) - 0)/(x - 0) = f'(x) --> x = -1 ∨ x = 1

Tangenten

t1(x) = f'(-1) * (x - (-1)) + f(-1) = 3·x

t2(x) = f'(1) * (x - 1) + f(1) = -x

Skizze

~plot~ -x^2+x-1;3x;-x;[[-8|8|-6|6]] ~plot~

Comments

Ouh hier habe ich absolut nichts verstanden nur annähernd. 

In welche Schublade steckst du diese Aufgabe, damit ich mich informieren kann.

"Tangenten an einen Graphen berechnen"

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Tangenten an einen Graphen berechnen durch einen Punkt außerhalb des Graphens.

Bedingung

(f(x) - 0)/(x - 0) = f'(x) --> x = -1 ∨ x = 1

Die Steigung zwischen einem Punkt der Funktion und dem Punkt (0|0) muss gleich der Steigung des Graphens in dem Punkt sein, damit es eine Tangente ist.

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Ja genau ich suche den Punkt auf dem Graphen, wo die Steigung gleich der Tangentensteigung ist. 

Aber weiss eben nicht, wie ich das mache, und due Bedingung die du oben hast habe ich nie gesehen ausser eben dass du schreibst f'(x). 

Aber ja ich werde mich mit Tangente an einem Graphen wohl auseinandersetzen.

Vielen Dank

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Ich weiß auch nicht warum die Bedingung die ich nutze sonst kaum genutzt wird. Es ist sehr einfach.

Steigung zwischen Zwei Punkten (Sekantensteigung) sollte klar sein und Steigung in einem Punkt (Tangentensteigung) ist es ja auch.

Du kannst es ja mal an ein paar Aufgaben probieren. Spätestens bei der 3. erkennst du wie einfach das eigentlich ist.

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Jawohl also ich gehe nicht schlafen bis ich es geschafft habe :) 

Bin top-motiviert ! :))

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Kannst du erklären wie du fon f'(x) =>> x = -1, x=1 kommst

Der rest ist ja Punkt Steigungsform :)

f(x) - 0 / x-0 rechne

bekomme ich eben leider nur -x+1-(1/x) und kann weiter nichts machen.

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(f(x) - 0)/(x - 0) = f'(x)

f(x) - 0 = f'(x) * (x - 0)

f(x) = f'(x) * x

hier mal einsetzen

-x^2 + x - 1 = (-2x + 1) * x

-x^2 + x - 1 = -2x^2 + x

x^2 = 1

x = ±1

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Ich habe 7 Blätter voll und bin auf keine Lösung gekommen,
ichhabe  es jetzt so gemacht - Interpolationsmässig.

Was weiss ich?

1. die Tangente geht durch den Ursprung P ( 0 I 0 ) 
2. die Tangente geht durch den Punkt P_(2) ( x I -x^{2} + x -1)
3. die Tangente muss die Steigung f'(x) = -2x + 1 haben


1. y = mx
2. -x^{2} + x -1 = m*x
3. m = -2x+1

y = m*x+q (wobei q=0 da Ursprung)

-x^{2} + x -1 = (-2x + 1)*x 
-x^{2} + x -1 = -2x^{2} + x
-x^{2} -1 = -2x^{2} 
x^{2} = 1

x_(1) = 1
x_(2) = -1



Wie sind die Koordinaten von x_(1) = 1 und x_(2) = -1

f(x_(1))
f(1) = -(1)^{2} + 1 - 1
= 1 + 1 - 1
= 1

P ( 1 I 1)


f(x_(2))
f(-1) = -(-1)^2 + 1 - 1
= -1 + 1 - 1
= -1

P ( -1 I -1)  

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Bei dir scheitert es ja schon einfache Werte in die Funktion einzusetzen.

f(x) = - x^2 + x - 1

f(1) = - 1^2 + 1 - 1 = -1 --> (1 | -1)

f(-1) = - (-1)^2 + (-1) - 1 = - 1 - 1 - 1 = -3 --> (-1 | -3)

Oben hatte ich doch sogar den Graphen skizziert. Dort kannst du doch solche Dinge zumindest ungefähr ablesen und die Richtigkeit rein optisch überprüfen. Mach das unbedingt.

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Ja ich bin mega unruhig weil ich es unbedingt können will und weil es nicht geklappt hat.

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Nicht hektisch werden. Wenns nicht klappt muss man gerade die Ruhe bewahren. In der Hektik verrechnet man sich eher noch mehr.

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Vielen Dank ! :) Ja ich habs echt gemerkt. Ich hatte immer angefangen, es nicht zu ende gebracht, und dann wusste ich irgendwie gar nicht mehr was ich gemacht habe und so weiter. Die Ruhe war weg. :)

Ich möchte mich aber bei dir für die Hilfe bedanken ! 

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Lieber Mathecoach 

Ich habe an diesem Tag auf der Heimfahrt (als ich wieder zur Ruhe kam) über diese Aufgabe philosophiert und kam zur Erhellung!

Folgendes:

1. Teil
Gesucht ist ja die Tangente an der Funktion f(x)=-x² + x - 1, weiter weiss ich dass sie durch den Nullpunkt geht. 

Also habe ich bereits einen Punkt von dem ich bescheid weiss -> P ( 0 I 0 )

Und ich weiss, dass eine Tangente die form y=m*x+q hat. 

Mit diesen Informationen weiss ich aber immernoch nicht wo genau die Tangente am Graphen liegt. Das ist das Problem wieso ich eben noch nicht weiss wo exakt die Tangente den Graphen berührt, aber ich weiss bescheid über die Steigung, nähmlich 
m_(t) = f'(x) = -2x + 1.


Ich setze nun diese Inforamtionen in die tangentengleichung ein um das q herauszufinden.
y = 0, m=(-2x+1), x= 0

y = m*x+q
0 = (-2x+1)*0 + q
q = 0

y=(-2x+1)*x+0


2. Teil

Ich muss wissen wo am Graphen nun die Tangente y=(-2x+1)*x der Berührungspunkt ist. Ich habe aber jetz noch keine Information über diesen Punkt.

Was mache ich ?
Ich sage einfach ich nenne mal diesen Punkt Q "x" und berechne den Funktionswert von diesem Punkt. 

Q ( x I -x^{2} + x - 1)

Ich setze nun diese Information in y=(-2x+1)*x ein 
y= -x^{2} + x - 1, x=x

-x^{2} + x - 1 = (-2x+1)*x

-x^{2} + x - 1 = -2x^{2} + x
x^{2} - 1 = 0
x^{2} = 1
x_(1) = 1
x_(2) = -1


Erkentniss! :)

Wenn ich vor diesem Problem stehe, muss ich mir einen zweiten Punkt der auf dem Graphen liegt erdenken und sage er heisst "x" und der Funktionswert von x.

Erdachter Punkt: Q ( x I f(x) )  

Nach dem Einsetzen dieser Informationen löse ich nach "x" auf, weil ja gar keine anderen Variabeln vorhanden sind und erhalte das Tatsächliche x bzw. den x-Wert welcher die Bedingung erfüllt.


Ich frage mich einfach ob das mit dem Punkt erdenken immer bei solchen Aufgabentypen funktioniert oder ob bei einfach nur bei dieser Aufgabe geklappt hat.