Funktion h(x)= (2x)^3-3. Bijektivität beweisen

Question

Gegeben ist die Funktion h: R --> R, h(x)= (2x)^3-3

kann mir jemand hier bitte helfen?

ich muss ja beweisen, dass die Funktion injektiv und surjektiv ist, damit ich sagen kann ob diese Funktion bijektiv ist.

Injektivität:

f(x)=f(y)

(2x)^3 = (2y)^3      /+3, 3.Wurzel ziehen, :2

x=y

aber wie beweise ich die Surjektivität?

Answer 1

wie beweise ich die Surjektivität?

Sei y ∈ R

(Dann musst du ein x bestimmen, dessen Bild das y ist , etwa so:)

y =  (2x)³ - 3

<=>    y   + 3   =  (2x)³

Jetzt wird es etwas kniffliger, weil ja die 3. Wurzel i.allg. nur für x≥0 definiert ist.

Andererseits gibt es zu jedem s ∈ R ein   t mit   t³ = s  nämlich   t = sign(s) * | s | ^1/3

Also hier   2x =  sign(y+3) * | y+3 | ^1/3

x =   sign(y+3) * | y+3 | ^1/3   / 2

also ist so ein x gefunden.