Zwei Ableitungen mit der Quotientenregel. a) f(x) = tan(x)

Question

folgende Fragen zu folgenden zwei Aufgaben:

Aufgabenstellung: Bilde jeweils die 1. Ableitung mit der Quotientenregel

a) f(x) = tan(x) (Hinweis: tan(x) = sin(x) / cos (x)

u = sin u' = cos

v = cos v' = -sin

f ' (x) = (cos(x) * cos(x) - sin(x)*(-sin) / (cos(x))^2

Aufgabe so richtig gelöst?

b) f(x) = (4x^3+8x^2-2x-2) / (x-1)^2

u = 4x^3+8x^2-2x-2      u ' = 12x^2+16x-2

v = (x-1)^2                    v ' = 2(x-1)

f ' (x) = (12x^2+16x-2) * (x-1)^2 - (4x^3+8x^2-2x-2) * 2(x-1) / [(x-1)^2]^2

         = (12x^2+16x-2) - (4x^3+8x^2-2x-2) * 2 / (x-1)^3       (Nach Kürzen und Ausklammern)

         = -8x^3-4x^2+20x+2 / (x-1)^3                                     (Ich denke nicht, dass dies richtig ist)

Vielen dank, vor allem für detaillierte Lösungswege zur letzten Aufgabe!

Gruß Venim

Comments

Zur Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(4x%5E3%2B8x%5E2-2x-2)+%2F+(x-1)%5E2 benutzen. Die Ableitung findest du bei "Derivative "  1/dx

Answer 1

f ' (x) = (cos(x) * cos(x) - sin(x)*(-sin) / (cos(x))²

Aufgabe so richtig gelöst? nicht ganz, musst du noch

zusammenfassen

= ( cos(x)² + sin(x) ² ) / (cos(x))²   

= 1 / (cos(x))^{2 .} 

und bei b) fehlt ein Faktor:

= (12x²+16x-2)(x-1) - (4x³+8x²-2x-2) * 2 / (x-1)³       (Nach Kürzen und Ausklammern)

Comments

Alles klar! dann sollte b) wie folgt lauten:

= (12x^3+16x^2-2x-12x^2-16x+2) - (8x^3+16x^2-4x-4) / (x-1)^3   Klammern auflösen

= 12x^3 + 16x^2 - 2x - 12x^2 - 16x + 2 - 8x^3 - 16x^2 + 4x + 4 / (x-1)^3

= 4x^3-12x^2-14x+6 / (x-1)^3   Endergebnis

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Das passt so !