Konvergenzradius für Potenzreihe bestimmen

Question

Hey;)

Wollt mal fragen, wie ich bei der Potenzreihe vorgehen soll beziehungsweise ob ich es so richtig gemacht hab.

|an/an+1| =( 4+(-1)ⁿ⁺¹)³⁽ⁿ⁺¹⁾/ (4+(-1)ⁿ)³ⁿ

Jetzt kann ich aber Nicht weiter vereinfachen.

Hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt:)

Answer 1

Zunächst mal Substitution   z = x⁵ gibt die


Reihe   mit a_n = ( 4 + (-1)ⁿ )^-3n  = 1 /   ( 4 + (-1)ⁿ )³ⁿ 

Hier ist wohl das Wurzelkriterium günstiger .

Dann ist n-te Wurzel aus | a_n | =  1 /   ( 4 + (-1)ⁿ )³ 

und für den limes superior   betrachtest du  die Glieder mit geradem n

dann hast du  1 / 5³ = 1 / 125

Also ist der Konvergenzradius für die Reihe mit dem z dann    r1 =   1/125

also für die x-Reihe  r2 =   5. Wurzel aus  1/125 .

Comments

Die mit ungeraden n nicht, weil die Zahl sonst unter kleiner wäre und man den Limes superior sucht oder?

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Genau, da es dann nur um die größeren geht.

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Bei der Resubstitution hab ich eine Frage:

z= x^5n

1/125= x^5n und wie kommst du dann auf die 5?:)

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Es konvergiert die Potenzreihe mit dem z für

|z| < 1/125

<=>  |x⁵| < 1/125

<=>  |x| < (1/125)^1/5