Für v,w ∈ ein K-Vektorraum V gilt : Aus -v∈U und v-w∉U folgt w∉U?

Question

ich glaube diese aussage ist falsch.

annahme : w ∈ U.

dann -v + w ∈ U.

nach kriterium von Vektorraum(existenz negativen vektorraum)

(-v+w) + ( v-w) = 0 ∈ U, also v-w auch ∈ U (widerspruch)

ist das recht? oder kann jemand Tipp geben?

Answer 1

Hallo ddcho,

ich gehe davon aus, dass U ein Unterraum von V sein soll.

Deine Überlegungen sind richtig, wieso also " ich glaube diese Aussage ist falsch." ? 

Beweis durch Widerspruch:

Annahme:  - v ∈ U  und  w - v ∉ U  und  w ∈ U

- v ∈ U  und  w ∈ U →_{Abgeschlossenheit von U}   w + (-v) ∈ U  →  w - v ∈ U  

Widerspruch  →    w ∉ U

Gruß Wolfgang