Stammfunktion mit Wurzelausdruck im Nenner - sind diese Umformungen korrekt?

Question

Ich weiss nie ob ich denn ganzen Nenner nach oben nehmen muss, oder ob ich die komponenten einzeln nach oben nehme :-/

$$\int { 2x-\frac { 1 }{ 4\sqrt { x }  } dx } \\ \int { 2x-\frac { 1 }{ 4*{ x }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } } dx } \\ \int { 2x-(4*{ x }^{ \frac { 1 }{ 2 }  })^{ -1 }dx } \\ \int { 2x-(4*{ x }^{ -\frac { 1 }{ 2 }  })dx } \\ \int { 2x-4*{ x }^{ -\frac { 1 }{ 2 }  }dx } \\ =\left[ { \frac { 2 }{ 2 } x^{ 2 }\quad -\quad \frac { 4 }{ \frac { 1 }{ 2 }  } { x }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } } \right] \\ =\left[ { x^{ 2 }\quad -\quad 8{ x }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } } \right] \\ =\quad x^{ 2 }\quad -\quad 8{ x }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }+\quad c\\ =\quad x^{ 2 }\quad -\quad 8{ \sqrt { x }  }+\quad c\\ $$

Comments

Kleiner Tipp was du zunächst alleine machen kannst:

Prüfe die Aufgabe einfach mit einem Rechenknecht

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral(2x-1%2F(4sqrt(x)))dx

Wenn dein Ergebnis nicht mit dem des Rechenknechts übereinstimmt prüfe woran das liegen könnte.

Schau dir also dazu die Unterschiede deiner und der Lösung des Rechenknechts an und schaue wie der Unterschied zustande gekommen sein könnte. Meist findet man dann seinen eigenen Fehler recht schnell.

Answer 1

Hi,

Du hast genau richtig den kompletten Nenner in den Zähler gezogen und sehr schön die Klammer gezogen -> (4x^{1/2})^{-1}.

Dann aber hast Du die Klammer einfach ignoriert und nur dem x^{1/2} zugesprochen? Was aber ist mit der 4? Da müsste es nun auch 4^{-1} heißen.

Kannst es aber auch als 1/4 stehen lassen. Da konstant, stört das ja nicht ;).

Damit kommst Du schon klar? Sonst stimmt es ja. Und statt 8 haben wir dann den Vorfaktor 1/2 beim zweiten Summanden.

Grüße

Comments

Meinst du so ? (Vorausgesetzt ich habe bei der Korrektur keinen Fehler gemacht!)


$$\int { 2x-\frac { 1 }{ 4\sqrt { x }  } dx } \\ \int { 2x-\frac { 1 }{ 4*{ x }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } } dx } \\ \int { 2x-(4*{ x }^{ \frac { 1 }{ 2 }  })^{ -1 }dx } \\ \int { 2x-(4^{ -1 }*{ x }^{ -\frac { 1 }{ 2 }  })dx } \\ \int { 2x-4^{ -1 }*{ x }^{ -\frac { 1 }{ 2 }  }dx } \\ =\left[ { \frac { 2 }{ 2 } x^{ 2 }\quad -\quad \frac { 4^{ -1 } }{ \frac { 1 }{ 2 }  } { x }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } } \right] \\ =\left[ { \frac { 2 }{ 2 } x^{ 2 }\quad -\quad \frac { \frac { 1 }{ 4 }  }{ \frac { 1 }{ 2 }  } { x }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } } \right] \\ =\left[ { x^{ 2 }\quad -\quad \frac { 1 }{ 2 } { x }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } } \right] \\ =\quad x^{ 2 }\quad -\quad \frac { 1 }{ 2 } { x }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }+\quad c\\ =\quad x^{ 2 }\quad -\quad \frac { 1 }{ 2 } { \sqrt { x }  }+\quad c\\ $$

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Genau so meinte ich das! Sehr gut :).

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Okay, dann ist das Reusltat auch das was bei mir zu unterst steht?

(Sorry ich arbeite ohne Lösungen, gestern konnte ich alle Sachen noch per Grapher überprüfen aber bei den Stammfunktionen weiss ich nicht wie ich es ablesen kann ob es korrekt integriert ist.)

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Genau. Die letzten beiden Zeilen sind Dein Resultat. Kannst die Wurzel gerne als Potenz stehen lassen, wobei ich ebenfalls letztere Zeile bevorzuge :).

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Also kann ich sagen, ich darf den Nenner als gesamten Ausdruck nach oben nehmen muss aber den Exponent -1 einerseits auf den Exponenten innerhalb der Klammer anwenden, und andererseits auf den Koeffizienten von x ?

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Übrigends, vielen Dank für die Hilfe ! :)

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Das ist so etwas unglücklich formuliert.

Also richtig ist, dass der gesamte Nenner nach oben genommen werden darf. Beim Klammer auflösen, muss aber jeder Faktor(/Summand) berücksichtigt werden.

Es ist ja bspw:

(abc)^d = a^d b^d c^d

Bei uns haben wir halt kein c und a = 4 und b = x^{1/2}.

Einverstanden? Potenzgesetze als Stichwort :).

Gerne

Answer 2

f(x) = 1/ (4 √(x)) = 1/4 x^{-1/2}

F(x) = 1/4 * 1/(-1/2 + 1) * x^{-1/2 + 1}

= 1/4 * 1/(1/2) * x^{1/2}

= 2/4 * x^{1/2}

= 1/2 * x^{1/2}

Das einfach mal prüfen und dann (wenn gut) in deine Antwort einbauen.