Existiert f: R -> R diff'bar mit f(x)=f(-x) ohne lokale Extremstelle in x=0?

Question

kennt jemand eine differenzierbare Funktion  f: ℝ → ℝ   mit

f(x) = f(-x)  für alle x∈ℝ  und  f hat in  x=0 keine lokale Extremstelle 

?

Gruß Wolfgang

Answer 1

$$f(x)=\begin{cases}x^3\sin\frac{1}{x}&\quad\text{fuer $x\ne0$,}\\ 0&\quad\text{sonst}.\end{cases}$$

Comments

@Fakename

Ich danke dir! Alle meine "Nachprüfungen" haben mich überzeugt. Ich war eigentlich der Meinung, dass - wenn man einen konstanten Funktionsverlauf in der Umgebung von 0 ausschließt - wegen f '(ε) = - f '(-ε)  für alle ε∈ℝ⁺  bei 0 ein Vorzeichenwechsel von f ' vorliegen müsse. Aber offensichtlich nimmt bei deiner Funktion f ' in jeder ε-Umgebung von x=0 sowohl positive als auch negative Werte an, obwohl ich im Moment auch nicht wüsste, wie ich das exakt begründen sollte.

Habe ein solches Gegenbeispiel vor langer Zeit wahrscheinlich schon einmal gesehen, aber eben vor sehr langer Zeit. Man lernt eben nie aus und vergisst leider manches und dann gewinnen irgendwann die bösen anschaulichen Vorstellungen manchmal die Oberhand  :-)

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Aber offensichtlich nimmt bei deiner Funktion f ' in jeder ε-Umgebung von x=0 sowohl positive als auch negative Werte an

Das gilt für f selber auch. Weshalb f(0)=0 kein (lokales) Extremum sein kann.

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Es scheint mir so, dass auch jedes andere Gegenbeispiel in der Umgebung von x=0 "gedämpft oszillieren" und deshalb andere lokale Extremstellen haben muss. Ist das richtig oder gibt es auch ein Gegenbeispiel, das keine anderen Extremstellen hat?

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Diese Funktion passt auch auf Dein Anforderungsprofil:$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty(-3)^{-n}\cos2^nx$$ Hat die irgendwo lokale Extrema? Ist ein Vorschlag, ich hab's mir nicht genauer ueberlegt. Die Idee ist, eine Funktion zu basteln, die sich qualitativ ueberall so verhaelt, wie das Beispiel von oben im Nullpunkt.