Wahrscheinlichkeit, dass es genau 25 ungeprügelte Menschen sein werden? (Prügelei im Kreis / Binomialverteilung)

Question

100 Menschen stehen im Kreis (auf der Kreislinie) und schlagen einmal einen Nachbarn, zufällig und gleich wahrscheinlich ausgewählt entweder den links oder rechts von ihnen. Der Erwartungswert der Anzahl ungeprügelter Menschen ist 25.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es genau 25 ungeprügelte Menschen sein werden?

Comments

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(sum+((50+choose+2*n))%5E2+,+n%3D+0+to+25)+%2F+2%5E98

Answer 1

döschwo,

jeder der \(100\) im Kreis stehenden Menschen kann bis zu zwei mal geschlagen werden (von seinem rechten und/oder linken Nachbarn). Da der Schlag nach links oder rechts zufällig (d.h. mit einer Wahrscheinlichkeit von \(0.5\)) erfolgt, haben wir die Wahrscheinlichkeit $$1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}=0.75$$ dass man geschlagen wird und $$1-0.75=0.25$$ dass man nicht geschlagen wird. Dementsprechend liegt der Erwartungswert auch bei \(100\cdot 0.25=25\) ungeprügelten Menschen. Nun werden genau \(25\) Menschen nicht geprügelt. Die Wahrscheinlichkeit hierfür liegt bei $$\binom{100}{25}\cdot 0.25^{25}\cdot 0.75^{75}\approx 0.09$$

Comments

Es scheint keine Binomialverteilung zu sein, weil nicht unabhängig (es kann nicht gleichzeitig die erste und die dritte Person ungeprügelt sein). Eine Anzahl ungeschlagener Menschen über 50 ist nicht möglich. Eine Simulation ergibt p=15.9% für k=25.

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Interessant! Hättest Du eine Idee, wie man das rechnerisch bestimmt?

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Eine Simulation ergibt p=15.9% für k=25.

Die Rechnung ergibt p = 15,917847... %

p =  2 * ( (100 über 50) - (50 über 25) ) / 2^{100}