Gerade bestimmen mit Ebene,Punkt und Winkel

Question

Bestimmen Sie eine Gerade, die die Ebene E: x(r;s) = (0;0;0)+r(-4;3;1)+s(2;-1;0)

in einem Winkel von 45° schneidet und den Punkt P=(0;0;0) enthält

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann

Answer 1

Bestimmen Sie eine Gerade, die die Ebene E: X = [0, 0, 0] + r·[-4, 3, 1] + s·[2, -1, 0] in einem Winkel von 45° schneidet und den Punkt P(0 | 0 | 0) enthält.

n = [-4, 3, 1] ⨯ [2, -1, 0] = [1, 2, -2]

COS(45°) = [x, y, z]·[1, 2, -2]/√(1^2 + 2^2 + 2^2)

3/2·√2 = [x, y, z]·[1, 2, -2]

x + 2·y - 2·z = 3/2·√2, x^2 + y^2 + z^2 = 1

Nun gibt es hier ja leider unendlich viele Lösungen. Ich nehme mal [x = √2/2 ∧ y = √2/2 ∧ z = 0]

Da ich diesen als Einheitsvektor definiert hatte kann ich also auch ein Vielfaches nehmen. Also z.b.

[1, 1, 0]

Damit lautet die Gerade

g: X = r * [1, 1, 0]