Beweisen sie die Ungleichung (siehe Gleichung)

Question

$$\left| x+\frac { 1 }{ x }  \right| \ge 2$$

Wann gilt Gleichheit?

Hinweis: Führen Sie die Aufgabe auf ein Extremwertproblem zurück und beachen Sie dabei den Definitionsbereich und die Stetigkeitsintervalle.

Answer 1

Der Hinweis ist viel zu kompliziert. Man kann \(x>0\) annehmen, da sich die linke Seite beim Ersetzen von \(x\) durch \(-x\) nicht aendert. Dann liefert die AGM-Ungleichung direkt $$\frac{x+\frac{1}{x}}{2}\ge\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}$$ und Gleichheit genau für \(x=\frac{1}{x}\).

Answer 2

f(x) = x + 1/x

f'(x) = 1 - 1/x^2

f''(x) = 2/x^3

f'(x) = 0 --> x = -1 ∨ x = 1

f(1) = 2 --> Minimum

f(-1) = -2 --> Maximum

Nach der Skizze sollte das dann klar sein

~plot~ x + 1/x;[[-8|8|-6|6]] ~plot~