Definitionsbereich, die Intervalle von Monotonie und die Extremwerte bestimmen

Question

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Ich muss den Definitionsbereich, die Intervalle von Monotonie und die Extremwerte von folgenden Funktion bestimmen:

y = xe^{-1/2}

Ich habe es versucht, das zu lösen, aber leider bin ich mit meinem Latein am Ende...

Answer 1

DEFINITIONSBEREICH

Allgemein: Der Definitionsbereich (kurz: D) beschreibt für welche x eine Funktion y(x) definiert ist.

Es gibt Funktionen die sind nicht für alle reellen Zahlen (kurz: ℝ) definiert.

Beispiel: y(x) = 1/x

Diese Funktion ist für x = 0 nicht definiert, weil eine Division durch Null in der Mathematik nicht erlaubt ist.

Deshalb schreibt man: D = ℝ \ {0}

Das bedeutet sie ist für alle reellen Zahlen (kurz: ℝ) definiert ausser für Null.

Nun zu deiner Funktion: y(x) = x * e^-1/2

e^-1/2 ist eine Konstant und hat den wert 1 / e^1/2 = 1 / √e ≈ 0.607

Jedes beliebige x darf in einer Funktion mit einer Kontante (in diesem Fall 0.607) multipliziert werden. Deshalb ist der Definitionsbereich gleich allen reellen Zahlen (kurz: ℝ).

Deshalb schreibt man: D = ℝ

EXTREMWERT

Als Extremwert wird der y-Wert bezeichnet der in einem Intervall entweder der höchste ist (dann nennt man es ein lokales Maximum) oder der tiefste ist (dann nennt man es ein lokales Minimum).

Deine Funktion ist eine lineare Funktion, denn x wird lediglich mit einer Konstante multipliziert. Eine solche Funktion hat keinen Extremwert.

MONOTONIE

Unter monoton wachsend bzw. monoton fallend bezeichnet man eine Funktion oder ein Intervall (ein Bereich) einer Funktion in welchem die Funktion ständig wächst (immer grösser/positiver wird) bzw. ständig sinkt (immer kleiner/negativer wird)

Da deine Funktion eine lineare Funktion ist, ist ihr Monotonie-Verhalten über den ganzen Bereich gleich. y wird mit zunehmendem x immer grööser. Die Funktion ist also monoton wachsend.

Grüsse,
Timon