Gerade, die Ebene in 45° schneidet

Question

                                                                          (0)        (-4)       (2)

Bestimmen sie eine Gerade, die die Ebene E:  (0)  + λ  (3)   + μ (-1)

                                                                          (0)         (1)         (0)

in einem Winkel von 45° schneidet und den Punkt P=(0;0;0) enthält.

Answer 1

Bestimmen Sie eine Gerade, die die Ebene E: X = [0, 0, 0] + r·[-4, 3, 1] + s·[2, -1, 0] in einem Winkel von 45° schneidet und den Punkt P(0 | 0 | 0) enthält.

n = [-4, 3, 1] ⨯ [2, -1, 0] = [1, 2, -2]

COS(45°) = [x, y, z]·[1, 2, -2]/√(1^2 + 2^2 + 2^2)

3/2·√2 = [x, y, z]·[1, 2, -2]

x + 2·y - 2·z = 3/2·√2, x^2 + y^2 + z^2 = 1

Nun gibt es hier ja leider unendlich viele Lösungen. Ich nehme mal [x = √2/2 ∧ y = √2/2 ∧ z = 0]

Von Richtungsvektoren kann man ja beliebige Vielfache nehmen, sodass eine Gerade wäre

X = r * [1, 1, 0]

Bitte führe auch die Probe durch.