Hallo zu folgender Aufgabe habe ich einpaar Fragen:
Gegeben ist die Funktion fa(x) = x^a*(1-ln(x)), Berechne Extrema und Wendepunkte
f ' a(x) = x^{a-1} ( a - a ln(x) -1)
notw. Bedingung: f 'a(x) = 0 hinreich. Bedingung: f '' a(x) ≠ 0
Extrema: a-a ln(x)-1 = 0
ln(x ) = (a-1) / a | *e
x = e^ ((a-1)/a)
Y-Wert = fa(e^ ((a-1)/a)) = e^ ((a-1)/a) (1-ln(e^ ((a-1)/a)))
Leider komme ich hier auf keinen Plausiblen Wert, welcher beispielsweise a = 2 den HP (1,65 / 1,35) angibt.
Wendepunkt: notw. Bedingung f '' a(x) = 0 hinreich. Bedingung: f ''' (x) ≠ 0
f '' a(X) = x^{a-2}(a^2-a^2 * ln(x) + a * ln(x) - 3a+1)
Wendepunkt: a^2 - a^2 * ln(x) + a * ln(x) -3a+1 = 0 | +3a - 1
ln(x) +a * ln(x) = 3a-1 |:a
ln(x) ^2 = (3a-1) / a |*e
x^2 = e^ ((3a-1) / a)
x = √e^ ((3a-1) / a)
Stimmt der WP soweit? Wie berechne ich hier den Y-Wert und ggf die dritte Ableitung um die hinreich. Bedingung zu erfüllen?
Ich danke für detaillierte Antworten! MfG Venim
