Extrema und Wendepunkte von Logarithmus-Schar f(x)=ln(x^2+t)

Question

folgende Fragen:

Geben ist die Funktion f(x) = ln(x^2+t)

a) Berechne die Nullstellen

f(x) = ln(x^2+t) = 0

      e^ln(x^2+t) = e^0

              x^2+t = 1          |-t

                 x^2 = 1-t        |√

                     x = √1-t

Nullstelle so richtig berechnet?

b) Berechne Extrema und Wendepunkte

f ' (x) = 1 / x^2+t * 2x = 2x / x^2 + t

Wie berechne ich nun den x-Wert und den y-Wert? Wie bilde ich f '' (x) und f ''' (x)?

Vielen lieben Dank, ich bin für detailierte Lösungsvorschläge sehr dankbar!

Answer 1

f(x) = LN(x^2 + t) vermutlich t > 0

f'(x) = 2·x/(x^2 + t)

f''(x) = 2·(t - x^2)/(x^2 + t)^2

a) Berechne die Nullstellen

f(x) = 0

LN(x^2 + t) = 0

x^2 + t = 1

x^2 = 1 - t

x = ±√(1 - t)

b) Berechne Extrema und Wendepunkte

Extrempunkte f'(x) = 0

2·x/(x^2 + t) = 0 --> x = 0 für t ≠ 0

f''(0) = 2/t --> für t > 0 ein TP

f(0) = LN(t) --> TP(0 | LN(t))

Wendepunkte f''(x) = 0

2·(t - x^2)/(x^2 + t)^2 = 0

x = ±√t

f(±√t) = LN(2·t) --> WP(±√t | LN(2·t))