Rotationskörper Berechnung Zylindervolumen, Masse und mittlere Dichte

Question

Wie berechnet man die Masse eines Zylinders m=∫ρ(x)dV=2π⋅h∫ρ(x)xdx, dessen Rotationsachse die y-Achse ist (Radius 3.5 Höhe 3.5 ) und dessen Dichte vom Abstand von der Rotationsachse abhängt: ρ(x)=1+3x . Ich soll die mittlere Dichte bestimmen, indem ich die Masse durch das Zylindervolumen teile.

Also Grundsätzlich gilt ja, dass Dichte = Masse / Volumen ist.

Berechnung Volumen:

?

Berechnung Masse:

m=2π⋅h∫ρ(x)xdx

oder

m=∫ρ(x)dV

Berechnung mittlere Dichte:

ρ_Mittel=1/(b-a)∫f(x)dx

Bei der Berechnung der Masse habe ich versucht, folgendermaßen vorzugehen:

m=2π×h₀∫^3,5 (1+3x) dx

m=2π×3,5×[x+(3/2)x²] (Grenze 0 bis 3,5)

m=481,05637...

Aber schon die Masse habe ich somit falsch berechnet. Die richtige Lösung für die Masse ist 1077,5663 und für die mittlere Dichte ρ_ave ist 8.

Wäre cool, wenn ihr mir hier helfen könntet, auf die Lösungen zu kommen.

Answer 1

Volumen

r²*pi*h = 3.5^2*pi*3.5 = 134,696 oder wenn ihr das über die Volumenformel
für Rotationskörper lösen müsst:

g(y) = r, (g(y))^2 = r^2 =  3.5^2
V_(y) = pi*Integral((g(y))^2 dy)
V_(y) = pi*Integral(r^2 dy)
V_(y) = pi*3.5^2*h in den Grenzen von h=3.5 bis 0
V_(y) = pi*3.5^2*3.5 = 134,696

Masse

m = 2*pi*h*Integral((1+3x)xdx)
m = 2*pi*h*Integral((x+3x²)dx)
m = 2*pi*h*(x²/2 + x³)

Nach dem Einsetzen der Grenzen von 3.5 bis 0 ergibt das die Masse
m =  1077,566