Funktionen anhand gegebener Elastizität bestimmen. εf(x) = x^2 * e^x

Question

Gegeben sei die Elastizität:

ε_f(x) = x² * e^x

a) Bestimmen Sie alle Funktionen f, die diese Elastizität besitzen.

b) Welche dieser Funktionen erfüllt f(1) = 2?

Lösung:

a) f(x) = c*e^{((x-1)*e^{x})} , c ∈ ℝ

b) f(x) = 2e^{((x-1)*e^{x})}

Mir fehlt jegliche Idee, wie ich die Funktionen aus a) bestimmen kann.

Bei der b) ist mir bewusst, 2 für f(x) und 1 für x einzusetzen und dann nach C aufzulösen. Habe diese nur der Vollständigkeit halber dazu geschrieben.

Ich freue mich auf Anregungen und vielen Dank schon mal!

Answer 1

Gemäss https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizit%C3%A4t_(Wirtschaft)#Mathematische_Darstellung 

Hast du wohl

 x² * e^x  = dy/dx  * x/y     

Das wäre eine Differentialgleichung, bei der du die Variabeln trennen kannst. 

x * e^x dx = 1/y dy 

Nun links partiell integrieren und rechts Stammfunktion hinschreiben. Integrationskonstante nicht vergessen.

Dann noch nach y auflösen. 

Comments

Nun habe ich Integriert und habe

x * e^x - e^x + C = ln(y) + C

raus bekommen. Wie löse ich nun nach y auf? Steh total auf dem Schlauch...

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Die C müssen nicht gleich sein. Ausserdem kannst du auf einer Seite C auch weglassen. 

x * e^x - e^x + C = ln(y) + D       | Sollte das vielleicht |y| sein? 

x * e^x - 1* e^x + F = ln(y) 

(x-1)e^x + F = ln(y)      | ln bekommst du weg mit e^ (ln(y)) 

e^ ((x-1)e^x + F) = y       | fertig. / Alternative Darstellung (Potenzregeln) 

e^ ((x-1)e^x) * e^F  = y      | e^F ist auch wieder einfach eine (pos.) Konstante: G

G* e^((x-1)e^x)   = y        

Wenn du oben einen Betrag hast, darf hier das G auch neg. sein.