Minimieren Sie die Funktion f(x,y)=6x^2+3y^2-6xy+15x-9y+1

Question

ich soll die Funktion f(x,y)=6x^2+3y^2-6xy+15x-9y+1 für

a) 2x+y<=4

b) 2x+y>=4

minimieren.

Den Fall a) konnte ich lösen, da der Gradient eine Nullstelle im Definitionsbereich hat und die Funktion bei (-1,0.5) ein lokales Minimum (welches auch das globale Minimum ist) annimmt.

Bei Fall b) komme ich nicht weiter. Ich habe versucht die Funktion h(x,y) := f(x+2,y) unter der Bedingung 2x+y >= 0 zu minimieren. Dazu habe ich h in Polarkoordinaten transformiert und den Winkel als den Winkel zwischen der Ebene y=0 und 2x+y=0  festgesetzt, um das Minimum der Schnittparabel zu berechnen (dieses sollte ja auch das Minimum der Funktion im Definitionsbereich sein?). Da kommen allerdings sehr unschöne Ergebnisse bei raus ^^ Stimmt dieser Ansatz überhaupt soweit?

Über Tipps und Ratschläge wäre ich sehr dankbar.

Gruß

Answer 1

Ich lasse mal eine Kontroll-Lösung von meinem Freund Wolfram machen

a) https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize+6x%5E2%2B3y%5E2-6xy%2B15x-9y%2B1+with+2x%2By%3C%3D4

b) https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize+6x%5E2%2B3y%5E2-6xy%2B15x-9y%2B1+with+2x%2By%3E%3D4

Warum kannst du vermutlich bei b) einfach die Nebenbedingung 2x + y = 4 nehmen ?

Nebenbedingung nach y auflösen y = 4 - 2·x

Einseten

z = 6·x^2 + 3·y^2 - 6·x·y + 15·x - 9·y + 1

z = 6·x^2 + 3·(4 - 2·x)^2 - 6·x·(4 - 2·x) + 15·x - 9·(4 - 2·x) + 1

z = 30·x^2 - 39·x + 13

z' = 60·x - 39 = 0 --> x = 13/20 = 0.65

Der Rest ist dann eigentlich klar oder?

Comments

vielen Dank für die schnelle Antwort!

WolframAlpha hatte ich auch schon befragt, aber die Ergebnisse hatten nicht mit meinen übereingestimmt.

Aber du hast natürlich recht... ich kann mir das Verschieben und die Polarkoordinaten Transformation sparen, wenn ich begründe warum das Minimum auf der Ebene liegen muss und dann einfach die Gleichung y = 4-2x verwende :D

Gruß