Polynomdivision, wieso bei Nullstelle kein Rest?

Question

Ich überlege die ganze Zeit wieso gerade bei der Nullstelle kein Rest bleibt. Ich habe da an das Nullprodukt gedacht. Kann mir das aber nicht so richtig herleiten.

Was mich auch noch verwirrt ist folgendes:

Wenn ich bei einer Polynomdivision durch die NST teile, kann ich die NST * das Ergebnis der Polynomdivision schreiben (das geht aber nur wenn es eine NST ist)

Sollte nämlich ein Rest bei der Polynomdivision bleiben kann ich nur das Ergebnis * 1/(das was geteilt wurde) schreiben.Das ich mal 1/(das was geteilt wurde) schreibe, ist für mich logisch. (Mit dem Kehrwert multiplizieren)

Das ich aber einfach mal durch das was geteilt wurde schreiben kann, entzieht sich meiner Logik :(

Answer 1

wenn das Polynom f(x)  die Nullstelle a hat, dann enthält es den Linearfaktor (x-a)

Denn  f(x) = g(x) * (x-a) = 0

gilt , wenn f(a)=0 .

also ist f durch (x-a) teilbar.