Stetigkeitsaufgabe f(x)= (x^2-1)/(/x-1/)

Question

Hallo.

die Aufgabe lautet f(x)=(x^2-1)/(/x-1/)        / bedeutet Betragsstriche

Frage. In welchen Punkten sind die folgenden Funktionen nicht definiert und somit unstetig? Welche Art der Unstetigkeit liegt vor jeweils vor???

Verstehe nicht wirklich was gemeint ist. Bitte um ausführliche Erläuterung!

Comments

EDIT: @dtfahrer. Sehe gerade, dass du noch gar nie Antworten mit Sternen belohnt hast.

Wenn dir eine Antwort geholfen hat und klar ist, kannst du Punkte vergeben. Z.B. Sterne für die beste Antwort (nur eine beste pro Frage: Damit also vielleicht warten, bis die Aufgabe ganz erledigt ist) und auch Daumen für andere gute Antworten.

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Bitte schön :)

Answer 1

Die mir bekannten Arten von Unstetigkeit liegen entweder an Polstellen vor oder sind stetig ergänzbar oder (und das ist hier der Fall) der Funktionswert macht einen Sprung.

Unstetigkeit nur an der Stelle x=1. Der linksseitige Grenzwert von f(x) für x→0 ist -2, der rechtsseitige Grenzwert von f(x) für x→0 ist 2,

Comments

> Der linksseitige Grenzwert von f(x) für x→0  ist -2, der rechtsseitige Grenzwert von f(x) für x→0 ist 2,

Hier muss es natürlich 1 heißen.

Die Formulierung  "Unstetigkeit nur an der Stelle x=1"  ist wohl nicht korrekt.

Für x ∉ D_f stellt sich - nach meiner Meinung - die Frage nach "Stetigkeit" eigentlich gar nicht, sie ist dort einfach "nicht definiert":

https://de.wikipedia.org/wiki/Unstetigkeitsstelle

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mir ist das mit der Fallunterscheidung nicht so ganz klar wegen den Betragsstrichen

wie muss ich die Fallunterscheidung machen?

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wie kommt man auf 2 und -2

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@Wolfgang Mit den roten Korrekturen hast du natürlich recht.

@dtfahrer Fallunterscheidung

x-1<0   f(x)=(x+1)(x-1)/(1-x)= - (x+1) f(1)=-2

x-1>0   f(x)=(x+1)(x-1)/(x-1)= x+1  f(1)=2

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verstehe das nicht wie man auf -2 und 2 dann kommt. einfach einen wert für x einsetzten?

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f(1) bedeutet, dass im Funktionsterm für x = 1 eingesetzt wurde.

Wegen des Bertages gibt es zwei verschiedene Funktionsterme, die an der Stelle 1 verschiedene Werte haben.

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das mit den verschiedenen x werten habe ich verstanden, aber wegen des Betrages muss ich zwei verschieden arme untersuchen?

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Wegen des Bertages gibt es zwei verschiedene Funktionsterme
Blödsinn. Es gibt nur einen, nämlich den oben angegebenen.

die an der Stelle 1 verschiedene Werte haben.
Blödsinn. An der Stelle 1 ist die Funktion überhaupt nicht definiert.

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für mich ist nicht ganz klar mit x-1

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jetzt bin ich total verwirrt

Answer 2

Das ist doch im Prinzip das Gleiche, wie bei deinen andern Fragen heute.

Hier mal der Graph mit einer Sprungstelle bei x = 1

~plot~ (x^2-1)/(abs(x-1)) ~plot~ 

f(x)=(x²-1)/(/x-1/)        / bedeutet Betragsstriche

Frage. In welchen Punkten sind die folgenden Funktionen nicht definiert und somit unstetig? 

Definitionslücke und Unstetigkeitsstelle bei x = 1 (Division durch 0 ist nicht erlaubt)

Welche Art der Unstetigkeit liegt vor jeweils vor???

Gemäss Graph hat der Graph von f(x) bei x=1 eine Sprungstelle. Daher ist die Definitionslücke nicht stetig hebbar.

Falls du das noch rechnen sollst: 

f(x)=(x²-1)/(/x-1/) 

f(x) = ((x-1)(x+1))/ | x-1|    Nun wohl am einfachsten weiter mit Fallunterscheidung wie ich das bei einer deiner Fragen von heute gemacht habe. ±(x-1) kann man kürzen, aber es ändert sich etwas am Vorzeichen links und rechts von x = 1.   Darum dann der Sprung (solltest du vorrechnen). 

Comments

ist ja schön und gut das du mir das aufzeichnest, aber das soll rechnerisch nachgewiesen werden und die zeit um mir das aufzuzeichnen, habe ich nicht in der Prüfung.

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ich möchte es ohne zeichnen erkennen, rechnerisch halt. das fällt mir so schwer. wann habe ich eine Sprungstelle? wenn ich betrag in der Funktion habe?

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ich möchte es ohne zeichnen erkennen, 

Es lohnt sich, wenn du weisst, wie die Dinge aussehen. Explizit zeichnen musst du das dann nicht. 

Du solltest wissen, dass der Graph der Betrags einen Knick hat. (-> z.B. oft Fallunterscheidung) 

Ausserdem solltest du die 3. binomische Formel so gut kennen, dass du den Zähler faktoriseren kannst. Das nützt, wenn du schaust, ob man kürzen kann. 

Nun hast du bereits einen Plan für eine Rechnung. 

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kann man das auch anders machen als faktorisieren??

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Du kannst es mit Polynomdivision versuchen. Faktorisieren ist sicher am schnellsten (man braucht aber dafür etwas Übung), Grenzwertbetrachtungen und Polynomdivisionen kosten Zeit an einer Prüfung. (Schreibzeit! Du musst ja vollständige Lösungswege abgeben)